探究一類條件函數的周期性探究一類條件函數的周期性

韓順龍

【摘要】在對正切函數y=tanx的周期性考察中得知它的一個周期為π，把周期π與正切函數所滿足的關系式tanx+π4=1+tanx1-tanx中的常數π4進行比較，發現了與之關系式結構相似條件f(x+A)=1+f(x)1-f(x)或f(x+A)=1-f(x)1+f(x)下的函數y=f(x)周期性的判定方法。

【關鍵詞】探究;條件函數;周期;判定;方法

1。引 言

設函數y=f(x)定義域為D，對函數y=f(x)來說，若存在T使得當x∈D時，f(x+T)=f(x)恒成立，則T是函數y=f(x)的周期，同時也把像這樣具有周期性的函數叫周期函數。若函數y=f(x)滿足條件f(x+A)=1-f(x)1+f(x)，以下稱條件函數，其中f(x)≠-1，x∈D，則它的周期性怎樣？本文側重討論滿足條件f(x+A)=1-f(x)1+f(x)或與之表達形式相似的條件的函數周期，并得到一般結論。

2。條件函數的周期性研究

若對任意x∈D，均有f(x)≠0，且滿足條件f(x+A)=mf(x)或f(x+A)=-mf(x)，其中，m≠0，則容易推出：f(x+2A)=mf(x+A)=m×f(x)m=f(x)，或f(x+2A)=-mf(x+A)=-m×-f(x)m=f(x)。因此，根據周期函數定義便可得到：

定理1 若函數y=f(x)滿足f(x+A)=mf(x)，或f(x+A)=-mf(x)，其中x∈D時f(x)≠0,m≠0，則它是一個以2A為周期的函數。

定理2 若函數y=f(x)滿足f(x+A)=α-βf(x)α+βf(x)，α+βf(x)≠0，其中A，α，β為常數，αβ≠0，則

f(x+2A)=α（α-β)+β(α+β)f(x)α（α+β)+β(α-β)f(x)。

證明 ∵f(x+A)=α-βf(x)α+βf(x),

（1）

∴f(x+2A)=α-βf(x+A)α+βf(x+A)。

（2）

由（1）式可知：

α-βf(x+A)=α(α-β)+β(α+β)f(x)α+βf(x)。

（3）

α+βf(x+A)=α(α+β)+β(α-β)f(x)α+βf(x)。

（4）

把（3）式和（4）式代入（2）式并整理得：

f(x+2A)=α(α-β)+β(α+β)f(x)α（α+β)+β(α-β)f(x)。

在定理2中，若α=β，則條件變為f(x+A)=1-f(x)1+f(x)，同時與之對應的結論變為f(x+2A)=f(x)。因此，根據周期函數定義得到它的一個推論：

推論 若函數y=f(x)滿足f(x+A)=1-f(x)1+f(x)，1+f(x)≠0，則它是一個以2A為周期的函數。

定理3 若函數y=f(x)滿足f(x+A)=α+βf(x)α-βf(x)，α-βf(x)≠0，其中A，α，β為常數，αβ≠0，則

f(x+2A)=α(α+β)-β(α-β)f(x)α(α-β)-β(α+β)f(x)。

證明 ∵f(x+A)=α+βf(x)α-βf(x)，

（5）

∴f(x+2A)=α+βf(x+A)α-βf(x+A)。

（6）

由（5）式可知：

α+βf(x+A)=α(α+β)-β(α-β)f(x)α-βf(x)。

(7）

α-βf(x+A)=α(α-β)-β(α+β)f(x)α-βf(x)。

（8）

把（7）式和（8）式代入（6）式并整理得：

f(x+2A)=α(α+β)-β(α-β)f(x)α(α-β)-β(α+β)f(x)。

在定理3中，若α=β，則條件變為f(x+A)=1+f(x)1-f(x)，同時與之對應的結論變為f(x+2A)=-1f(x)，從而進一步推得f(x+4A)=-1f(x+2A)=f(x)。因此，根據周期函數定義得結論：

定理4 若函數y=f(x)滿足f(x+A)=1+f(x)1-f(x)，1-f(x)≠0，則函數y=f(x)的周期T=4A。

3。結 語

函數的周期性是函數的一個重要特性，某些函數的周期性容易判定，而一些函數的周期判定困難。在正切函數y=tanx中，由于tanx+π4=1+tanx1-tanx，它滿足定理4的條件，根據定理4可知正切函數y=tanx的一個周期T=π，當然也可根據正切函數的圖像來判定。本文給出了一定條件下函數周期性的判定方法，特別是當我們不知道函數的解析式時，只要知道滿足文中定理給出的條件，也能方便快捷地判定函數的周期性。

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