論大學數學積分方法的現實應用

張瀚鑫

摘要：大學數學積分方法理論在不斷的完善，應用領域在不斷的擴大，用大學數學積分來解決實際宏觀方面的問題，再把一般的問題放在微觀里解決，從而解決因變量而產生的實際問題，比如在工程設計方面關于重心和壓力等方面的問題。可見大學數學積分的現實應用是及其廣泛的，主要表現在物理學，幾何學等方面。

關鍵詞：大學數學;積分方法;現實應用

1、前言

數學這一學科源于生活，應用與生活，而積分這一分支更是與生活密不可分，息息相關。積分方法在我們生活中無處不在，它的發現和發展為我們的生活提供了很多便利。最早積分的產生就是為了解決這些實際問題，如求物體運動的路程、變力做功多少、曲線圍成的面積和曲面圍成的體積等。積分的進一步發展后推動了現代力學、工程學及天文學等學科的發展，對于科學的發展和變革有重要意義。

2、積分方法的發展和應用

2.1積分方法的發展歷程

微積分的醞釀主要發生在17世紀早期。該時期自然科學的發展特別是天文學和力學上遇到數學困難，因此積分的理論在這時開始受到科學界的廣泛關注。科學家們在研究解析幾何的同時為積分學問題的研究提供了代數理論。卡迪爾、費馬等人的研究成果都為積分的誕生奠定了基礎。經過近半個世紀的醞釀，牛頓和萊布尼茲完成了微積分的創立。牛頓在劍橋大學學習的期間先后發明了“正流數術”即微分法和“反流數術”即積分法，他的《流數簡論》這篇論文是歷史上第一篇有關微積分的系統性文獻。牛頓的著名著作《自然哲學的數學原理》中首次公開為積分學說，在該著作中用微積分原理推導了萬有引力定律、開普勒的行星運動三大定律。基本是同時期內萊布尼茲也發表了他的微積分學論文，是世界上第一篇關于微積分的正式文獻。18世紀的歐拉對微分和積分學進行了完善，發表了《微分學》和《積分學》兩部里程碑式的巨著，為積分理論的發展和應用做出了偉大的貢獻。

2.2積分方法的應用

實際上積分的發展離不開它的實際應用。它在力學、天文學、工程學中得到了廣泛應用，后來隨著科學技術的發展，積分還被應用到了生物學、化學以及經濟學中。因為萬物都是由微小的、不斷運動的粒子組成，因此數學中引入變量這一概念后即積分的出現，用數學來描述萬物的運動得以實現。積分的應用在其理論建立之初主要有以下幾方面：第一類是研究運動，即求運動的即時速度;第二類應用是求解曲線的切線;第三類是曲線全長，曲線圍成圖形的面積、曲面所圍成的體積以及不對稱物體的中心位置等;第四類應用時求解某一函數的最值的問題。第五類應用是求解體積很大的物體之間的引力問題。積分學的應用極大地推動了數學、自然學科如天文學、力學、物理學和物理學的快速發展，尤其是隨著計算機技術的出現和應用，這種推動力更加凸顯出來。

3、大學數學積分方法的現實應用

3.1大學數學積分在物理學中的應用

數學積分又分不定積分和定積分兩種，在物理學中發揮作用的是定積分，通過定積分研究物理學中的某些理論，運用微元法將物理學轉化成定積分，這對解決變力做功，水的壓力，轉動慣量，感應電動等變量問題提供了方法，為實際操作提供的指南。可以說微元和定積分幾乎貫穿了物理學的整個教學過程。微分是運用的極限思維，將研究個體或者過程分解成無限個微元，對某個微元進行研究分析，從而找到某種規律，積分是在微分的基礎上對微元進行加和累積。通過這樣一個分解加和來解決物理學中的相關問題。

定積分應用在物理學學科主要體現字其微元這樣一個概念里，以此來解決物理學中變量的功、引力、壓力等方面的問題，比如某物受F作用，某物在力的作用下按照直線前進，位移s距離時，作用力F的功為：W=F*s，然后這個公式中受力的F是不變的，在現實中這種情況是極其完美的情況，在一般情況下F是會發生變化的。比如火箭發射必須計算克服引力的功，如果質量為m，那么將火箭垂直地向上發射到離地面高J時，功的計算數值是多少呢。解決這個問題的關鍵在于初速度，火箭脫離時受到地球的引力的影響。為了使火箭脫擺脫球引力影響，運用數學積分的方法把火箭發射到無限遠，從而得出功的數值。

3.2大學數學積分在幾何學中的應用

數學作為一門基礎學科，貫穿整個教育過程，將數學理論與實踐有機結合，從而完成對數學的學習，在數學學習過程中以微積分為基礎的數學積分顯得尤為重要！主要起作用的是定積分，在幾何學中運用數學積分的原理能夠有效解決面積問題，體積問題，平面截面的面積和體積以及弧長的問題！把數學知識上升到哲學的范疇，從而提高自身，完成學習的目標。數學積分的極大地推動了數學科學的發展，以往很多數學束手無策的問題，運用微積分，都可迎刃而解，顯示出微積分學的威力。數學積分是高等數學的主要內容，已經成為當代大學生數學學習的主要研究方向。

關于面積數學積分主要解決的是直角坐標系情形，極限坐標系情形，關于體積數學積分主要解決的旋轉體的體積，平行截面面積為已知的立體的體積，再有就是平面曲線的弧長問題。在解決數學問題時我們數學積分中的定積分和不定積分都有著現實意思，通過不定積分計算的是原函數，這是微分的逆運算，運用數學積分中的不定積分得到的結果是一個算式，而定積分計算的是具體的數值，是建立在不定積分基礎上的代入原值進行相減，得到的是一個具體的數字，所以在物理學中關于具體的數值還有變量的規律都可以運用數學積分知識，積分既然是微分的逆運算，那么在已知函數的導函數，就可以反求原函數.在應用上，積分作用不僅如此，它被大量應用于求和，，這種神奇的求解方法是積分的性質所決定的。比如被積函數的曲線是圓心在原點，半徑為2的半圓周，由定積分的幾何意義知此積分計算的是半圓的面積。

4、結語

積分法的發現和發展對人類社會的發展和進步有著重要意義。積分法的研究工作是以實際問題為出發點，將抽象的現實問題轉化為數學問題，整個積分方法的研究和應用對社會進步有著決定性作用。因此，我們不僅要學習現有的積分方法的原理和應用，還要在前人研究成果的基礎上進一步的研究和探尋積分法的更深層次的應用，以便更好地服務現代社會。

參考文獻：

[1]焦云航.以開放的學習態度學習微積分[J].新課程，2010，（10）：56-59.

[2]李大潛 . 關于高校數學教學改革的一些宏觀思考 [J]. 中國大學教學 ，2010 年 01 期 .