群的同態及其應用

郭俊 李興達 姚淑霞

摘要：群的同態與同構是研究群與群之間關系的重要手段。本文基于群的同態與同構關系，結合教學經驗，通過典型問題的分析闡明了群論中有關群的同態及同構問題的證明方法，為相關學者對這方面的學習和理解提供一定的幫助和指導作用.

關鍵詞：群;同態;同構;同態映射

1 引言

群的同態與同構關系是群論中非常重要的內容，群論中關于子群、子群陪集、不變子群、商群及不變子群對群的分類問題等都與群的同態及同構有密切關系[1]。當所給的群是商群，或環是商環時，利用同態基本定理可以簡化同態及同構問題的證明[2-4]。

同構映射是群之間關系最密切的映射，存在同構映射的兩個群本質上可以不加區別，因為它們有相同的群結構，近世代數中最基本與最重要的研究內容就是搞清楚各種代數系統在同構意義下的分類，而同態映射只要求保持運算，顯然它比同構映射更靈活，能夠研究兩個不同構的群之間的聯系。

群的同態與同構是群論中非常重要的內容，而同態基本定理是群論中最為核心的結論，它告訴我們，兩個群在同態滿射的條件下蘊含著一個群同構關系 在處理一些同構問題時，我們也常常逆用這個定理，也就是說，先構造出同態滿射，再利用該映射研究兩個代數體系之間的關系。

為方便分析，將文中用到的相關概念做如下說明。

因此，由同態基本定理知：

本文通過群的同態與同構相關結論，結合教學經驗，首先對群論中的同態與同構的一些重要結論給于分析和證明;其次，通過具體問題的分析了闡明了群的同態與同構在群論相關問題中的應用。

可以看出，尋找群G到群 的一個恰當對應法則成為解題的關鍵。要證明兩個群同態時，首先要證明所給法則是一個映射，再說明它是滿射，最后證明它滿足 ，即是同態映射就可以了。若要證明群G與群 的同構關系，需要在群同態基礎上，計算同態滿射的核 最后應用群的同態基本定理獲得

因此，獲得證明和求解群的同態與同構相關問題的解題思路如下：第一步：建立群G與群 的元素之間的對應關系 并證明 為映射;第二步：證明 為群G到群 的滿射;第三步：證明 為群G到群 的同態映射;

從而獲得群G與群 的同態關系;若需證明群G與群 同構，則繼續進行

第四步：計算同態滿射的核

第五步：應用群的同態基本定理得

參考文獻：

[1]趙興杰. 子群陪集與群同態基本定理的一種幾何模型[J]. 數學雜志， 2010， 30（5）：901-904.

[2]姚淑霞， 趙傳成. 同態基本定理的應用之一——證明商群的同構[J]. 現代經濟信息， 2008（4）：100-101.

[3]陳國慧. 同態基本定理的應用[J]. 海南師范大學學報（自然科學版）， 2002， 15（2）：18-20.

[4]金秀玲. 同態基本定理的應用[J]. 閩江學院學報， 1999（6）：1-3.

[5]張禾瑞.近世代數基礎（修訂版）[M].高等教育出版社，1978.

[6]楊子胥.近世代數[M].北京：中國礦業大學出版社，2008.

[7]陳國慧.同態基本定理的應用[J].湖南師范學院學報（自然科學版），2002.

[8]李倩倩，劉志剛，楊立英.群的基本同態定理的應用[J]. 廣西師范學院學報（自然科學版），2005.

基金項目：甘肅省高等學校科研項目《時間離散的時滯反應擴散系統的行波解及其應用》（2016B-080）。

作者簡介：郭俊（1997-），男，漢族，甘肅和政人，蘭州城市學院數學學院。

通訊作者：姚淑霞（1980-），女，博士，副教授。