小學數學中三角模型的建立與運用

孫勇 鄭靜

在《義務教育數學課程標準》中提到一個核心概念，就是模型思想。《課標》中所說的模型，強調模型的現實性，是用數學的語言講述現實世界中的故事;強調在建立模型的過程中，讓學生感悟如何用數學的語言和方法描述或者解決一類現實生活中的問題。模型是能夠解決一類具有實際背景問題的數學方法。

在小學數學中，任何復雜的數學問題，都是由兩個或多個簡單的數量關系構成的。而任何一個簡單的數量關系都由三個相關聯的量組成，這三個相關聯的量，它們之間有著一定邏輯關系。這種數量關系，我們就可以用一個三角形來反映，用三角形反映出來的數量關系可以讓學生能直觀、準確地認識和理解數量關系之間的內在聯系和變化規律，并運用于實際學習中。而這個表示數量關系的三角形一但在學生的大腦里形成思維模型，對解決數學問題就會思路清晰、速度快捷、結果準確。

通過我們在小學一線多年的實驗與觀察，思考與實踐，總結與驗證，從而得出了一套簡單完整易學的教學法——“巧用三角模形，解決數學問題”。在該教學方法中，我們將小學數學中一般數量關系、運算定律、計算公式、變化規律等都放在一個簡單的三角模型中表述出來，從而加快、加深學生對數量關系、計算公式、運算定律、變化規律的認識、理解和運用，特別是解決數學問題中的數量關系的分析，解題方案的確定更是一目了然、方便準確。讓我們的教學事辦功倍，且效果顯著。現將“巧用三角模形，解決數學問題”的基本應用原理總結如下：

一、三角模型的認識

在小學一年級數學《數的初步認識》教學中，我們把自然數進行分解與組成，以方便后面的加減法的計算，這種數的分解和組成，就可以構建一個三角模型。如：把8分解成5和（）（如圖1所示）。把6和3合并成一個數是（）（如圖2所示）。

用（8、5、3）這組數中的三個數寫出不同兩道加法和不同的兩道減法。學生通過擺小棒、數數等方法寫出了四個不同的算式。3+5=8，5+3=8，8-5=3，8-3=5。這三個數之間到底有什么內在關系呢？學生就很難說清楚。如果讓學生把這三個數寫在一個三角形上（如圖1），就容易看清它們之間的內在聯系了。兩底角上的數之和等于頂角上的數，頂角上的數減去一個底角上的數等于另一底角上的數。

以上算式中的三個數是圍繞三角形三個角上的數變化而來的，這樣學生就容易理解這三個數的變化規律和內在聯系了。學生通過三角模型，不僅可以輕易地寫出不同的加減算式，并且也發現了加減互逆的關系。

我們把幾個數的運算、計算規律或等量關系，用三角形的形式表示出來，并讓學生在頭腦里形成一種固定的模式，我們將它稱作為三角模型。

二、三角模型的建立

為了在學生頭腦中建起這種三角模型，方便以后的學習和運用，我們約定把三角形的頂角上標著固定的數量，如：（和或被減數;積或除數）（如：圖3、圖4、圖5、圖6），三角形兩底角上寫上相對應的其它兩個量。

學生學會了建立并運用這種三角模型，為今后的學習帶來了極大的方便。對歸納、總結所學的知識，以及知識間的各種聯系及內在規律的認識極為有幫助。也為我們解決問題帶來了方便，使我們看待問題會更直觀，更容易發現其中的變化規律，也便于理解和記憶

三、三角模型在小學數學中的運用

現就對三角模型在小學數學教學中怎樣解決一些教學難點和教學中的一些瓶頸問題作一簡要概述

1、小學數學關于比多比少的一些實際問題。

很多低年級的小朋友總是把比多比少的問題弄不明白，總喜歡把比誰多的題用加法，比少的題用減法。對這類問題，如果學生弄清了比較量和被比較量的大小，按規律把各種數量準確地表示在三角模型上，就能正確地找到求未知數量的方法，并準確地求出這個數量。

如：小王今年身高105厘米，比小軍高5厘米，小軍身高多少厘米？

小王比小軍高，所以小王高，小軍矮。根據三角模型的約定，應該把小王的身高寫在三角模型的上頂角上，則把小軍的身高寫在底角左邊，高5厘米寫在三角形底角的右角上。從上到下逆時針方何把題目各量標在三角形的三個角上。（即上頂角、左下角、右下角）在三角模型上依次標上數后，根據三角模型的加減關系的計算規律，求小軍的身高，寫在三角模型的左下角，所以求左下角的數用減法計算，（如圖7所示）。（求三角模型上頂角的數用加法，求三角模型下底角上的任意一個數都用減法）即105一5=100（厘米）

如果將上題改為：小王今年身高105厘米，比小軍的身高矮5厘米，求小軍的身高？則小軍身高應比小王身高高，所以三角模型上的數量應發生變化，即小軍的身高應寫在三角模型的頂角上，小王身高和矮的5厘米依次寫在左下角和右下角上，順時針方向寫出各個數量，（如圖8所示）。求三角模型頂角上的數，用加法計算：105+5=110（厘米）。

在給三角形標數量時，“多幾”或“少幾”的數寫在三角形的右下角，其他的量按“多”反時針方向，“少”順時針方向地把數量寫在三角模型上，求三角形上頂角的數用加減，求底角上的數用減法計算。這樣學生在求比多比少的問題吋，只要能找到誰多誰少，就能正確地求出這三個量中的任何一個未知量了。

2、用三角模型解決乘除法應用題的一些問題

例如：有m千克花生榨了n千克花生油，請問（1）每千克花生能榨多少千克花生油？（2）榨一千克花生油需要多少千克花生？學生解決這類問題時，總是分不清誰做被除數、誰做除數，列式時總是弄錯。如果我們用三角模型來分析這類問題就會清楚多了。首先我們要看所求的問題（1）是求每千克花生能榨多少千克花生油？我們把這個問題用這種形式寫出來：“（？）千克花生油/千克花生”，根據三角模型的特點，我們把這個表示一份的數“（？）千克花生油/千克花生”寫在三角形的左下角，根據每份數的書寫格式就知道，應該是油的重量除以花生的重量。所以油的重量是總量，寫在三角模型的頂角上，花生的重量是表示份數的多少，寫在三角模型的右下角上。（如圖9示）。

這是乘除關系，所以求每一份的量用（總量÷份數=每一份的量）因此式子是：花生油n千克÷花生m千克，即（n÷m）。

（2）每千克花生油需要多少千克花生？這個每份數應該寫成：“（？）千克花生/千克花生油”（如圖10所示）。根據每份數的書寫格式就知道：應該是花生的重量除以油的重量。所以，三角模型的頂角上就應是花生的重量，三角模型的右下角應寫份數→花生油的重量。根據問題求每千克花生油需要多少千克花生，應由頂角上的花生重量除以花生油的重量。即為（m÷n）。由于問題的不同，總量和份數也發生了變化，學生對這樣的問題總是易把總量和份數混淆，通過三角模型，就能讓學生正確區分總量與份數，從而找到正確的解題方法。

由于個別學生記憶差，理解問題的能力有限，如果我們將眾多的公式用一個三角模型來表述，這樣可以減少學生的記憶內容，提高學生的理解能力，從而提高學習效果。如我們把解決問題的眾多公式如：速度×時間=路程、單價×數量=總價、工作效率×工作時間=工作總量、單產量×數量=總產量…（如圖11、圖12、圖13、圖14）

在這里，速度、單價、工作效率、單產量都表示總量中的1份，我們叫它是每份數。而時間、數量都表示每份數的多少，我們叫它為份數。結果都為總量。在三角模型（圖15）上。這樣表示每份數都用/的形式寫一出來，分數線的上面分子的單位與總量的單位一致，分數線下面分母單位與份數的單位一致。這樣就可以在三角模型上找出各部分的關系，而不用記太多的公式，還可避免題中單位不一致，造成的解題錯誤。

3、用三角模型解決小數乘除法中的小數點變化規律

小數乘除法中，小數點變化的規律學生很難掌握，特別是三個數的小數點都有變化，學生就更摸不著頭腦。比如根據936÷36=26（如圖15）在下面的括號中填上適當的數：

936÷36=26?①9.36÷3.6=（）②93.6÷（）=260

如圖16、17所示，我們做第1題時，根據圖16所示，三角模型上的三個數都是整數。而題①中的被除數和除數都是小數，且小數位數不同。因此我們看被除數從936變成9.36，縮小了100倍，而除數36變成3.6，只縮小了10倍。因此商也應縮小10倍。（即：三角形頂角上的數擴大或縮小的倍數與兩底角上的數擴大或縮小的倍數之積相等）。再看題②：被除數從936變成93.6，縮小了10倍，而商由原來的26變成了260，擴大了10倍，除數會怎么變化呢？根據積商變化規律——三角形頂角上的數擴大或縮小的倍數與兩底角上的數擴大或縮小的倍數之積相等。三角形頂角上的數縮小了10倍，商擴大了10倍，因此除數應縮小100倍，所以應是（0.36）.

4、用三角模型解方程

在數學教學解方程時，有許多種解方程的方法，如：利用等式的性質;利用加減乘除的等量關系等。用等式的性質解方程時，在遇到未知數是減數或除數時，解決起來就比較麻煩，要先將減數轉換成加數，除數轉換成因數再來解，學生還易出錯，而利用等量關系式解方程時，學生要記住一系列的等量關系式，有個別學生記憶差，總把等量關系式用錯，造成解方程錯誤。因此，利用三角模型來解方程，就顯得簡單方便。

根據三角模型的約定，我們把和、積、被減數、被除數定位在三角形的頂角上，其它對應的數量定位在三角形的兩底角上，利用加減互逆、乘除互逆的特點來求解方程。

如：解方程①35-X1=16?②42÷X2=7?③56+3X3=80。

根據三角模型的約定，把方程的各個數量寫在三角形的相對應的位置，根據加減互逆的特點：X1是減數，屬于加減關系，所以X1=35-16，X1=19;X2是除數，屬于乘除關系，所以X2=42÷7，X2=6;把3X3看作一個整體，即為加數，屬于加減關系，所以3X3=80-56，3X3=24，X3=24÷3，X3=8。根據互逆的特點，解加減關系的方程時，求三角形頂角上的數時用加法計算、求三角形底角上的數時用減法計算、解乘除關系的方程時，求三角形頂角上的數用乘法計算，求三角形兩底角上的數時，用除法計算。這樣，學生就能更快、更準確地求出方程的解。

以上幾個例子只是我們在教學中的部分實例，“巧用三角模形，解決數學問題”是我們在教學中多年的探索、實踐總結出來的一套簡單實用的幫助學生學習數學的方法，經過實踐，教學效果顯著。

指導老師：楊豫暉教授。

注明：本文受佛山科學技術學院大創項目支持，項目編號為：XJ2018264。