駐波振幅極值法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)的誤差分析

摘要：針對(duì)駐波振幅極值法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差問(wèn)題，計(jì)算了測(cè)量結(jié)果的不確定度和相對(duì)誤差，分析了構(gòu)成結(jié)果不確定度的主要因素和引起實(shí)驗(yàn)誤差的可能來(lái)源，進(jìn)一步指出了減小實(shí)驗(yàn)誤差的方法，提高測(cè)量精度。

關(guān)鍵詞：聲速;駐波振幅極值法;誤差;不確定度

聲波是一種可在固、液、氣態(tài)彈性媒介中傳播的機(jī)械波。頻率在20 kHz以上的短波長(zhǎng)聲波稱為超聲波，其具有定向好、功率大、穿透力強(qiáng)以及信息攜帶量大等突出優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、工業(yè)、國(guó)防以及科學(xué)研究等領(lǐng)域，如超聲波測(cè)距和定位、超聲無(wú)損檢測(cè)、流體測(cè)速、測(cè)量氣體溫度變化，以及測(cè)量材料的彈性模量等。關(guān)于聲速的測(cè)量在聲學(xué)應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域尤為重要。其中，測(cè)量超聲波在空氣中的傳播速度具有強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用性和易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，是經(jīng)典的近代物理實(shí)驗(yàn)，成為許多高等院校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目[1， 2]。教學(xué)實(shí)驗(yàn)室主要采用駐波振幅極值法和相位比較法測(cè)量聲速。兩者相比較之，在駐波振幅極值法測(cè)量過(guò)程中，更易產(chǎn)生較大的觀察偏差[3，4]，因此，本文主要對(duì)駐波振幅極值法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)進(jìn)行誤差分析，并指出減小實(shí)驗(yàn)誤差的方法。

1實(shí)驗(yàn)原理

1.1聲波在空氣中的傳播速度

聲波在理想氣體中的傳播可視為絕熱過(guò)程，聲速V與氣體的關(guān)系式為[5]：

式中，為氣體的比熱容比，定義為氣體定壓比熱容與定容比熱容的比值，即;R為摩爾氣體常量，R = 8.314 J/（mol?K）;是氣體的摩爾質(zhì)量;T是氣體的熱力學(xué)溫度，相對(duì)于攝氏溫度t，T = T0 + t，其中T0= 273.15 K。相應(yīng)地，0℃時(shí)，聲速V0 = 331.45 m/s。忽略大氣壓和水蒸氣的影響，將空氣近似看作理想氣體，室溫 t 攝氏度下的聲速為[2， 5]：（2）

1.2 聲波傳播特點(diǎn)

在波動(dòng)過(guò)程中，波的傳播速度V與自身的頻率f和波長(zhǎng)λ的關(guān)系為：

因此，實(shí)驗(yàn)測(cè)出頻率f和波長(zhǎng)λ即可計(jì)算得到聲速V。對(duì)于振動(dòng)方向、頻率相同，初相位差恒定，且傳播方向相反的兩列平面簡(jiǎn)諧波相遇而發(fā)生疊加，形成合成聲波，其聲壓隨空間位置不同呈極大值和極小值分布，這樣的現(xiàn)象稱為駐波現(xiàn)象[5]。駐波方程表達(dá)式為，其中合振幅分布2Acos2πx/λ與位置有關(guān)，相位cos2πvt與時(shí)間相關(guān)。由此可知，在滿足的位置點(diǎn)，合振幅最大，稱為波腹，此時(shí)， （n = 0， 1，2，3???）;在滿足的位置點(diǎn)，合振幅最小，稱為波節(jié)，此時(shí)，。則相鄰兩個(gè)波腹或波節(jié)之間的距離。利用機(jī)械波傳播的駐波現(xiàn)象，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)出合成聲波的聲壓中相鄰兩個(gè)波腹的距離即可計(jì)算出聲波波長(zhǎng)λ。

1.3駐波振幅極值法測(cè)量聲速

利用主要由壓電陶瓷片構(gòu)成的超聲聲速測(cè)定儀發(fā)射和接收超聲波，實(shí)驗(yàn)裝置如下圖1所示。通過(guò)函數(shù)信號(hào)發(fā)生器將激勵(lì)電信號(hào)輸入到超聲聲速測(cè)定儀的換能器（壓電陶瓷片）S1上，調(diào)節(jié)信號(hào)源的輸出頻率為換能器S1的諧振頻率 f0，S1端面發(fā)生機(jī)械振動(dòng)，產(chǎn)生平面超聲波，在空氣中傳播到換能器S2，經(jīng)S2端面反射形成反射波。入射波與反射波在S1、 S2間相遇疊加，形成駐波，換能器S2將聲壓轉(zhuǎn)化為電壓，經(jīng)由示波器監(jiān)測(cè)駐波聲壓振幅隨S1與S2的距離ln的周期性變化。聲波的傳播發(fā)生半波衰減，駐波聲壓的振幅隨波源與接收器距離l的增加而衰減，當(dāng)ln等于超聲波半波長(zhǎng)λ/2的整數(shù)倍時(shí)，駐波振幅達(dá)到極大值，如下圖2所示。測(cè)量第1個(gè)和第n+1個(gè)聲壓極大值的距離ln，λ = 2ln/n，聲速V = λf = 2fln/n[5]。

2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及誤差分析

2.1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

（1）預(yù)置函數(shù)信號(hào)發(fā)生器頻率為 40 kHz、電壓幅度為 10 V。微調(diào)信號(hào)發(fā)生器輸出的正弦波頻率為超聲聲速測(cè)定儀的諧振頻率f0，使示波器呈現(xiàn)的正弦信號(hào)振幅達(dá)到最大，確定該值為實(shí)驗(yàn)超聲波的頻率。

（2）轉(zhuǎn)動(dòng)讀數(shù)鼓輪，逐漸拉開(kāi)S2，每移動(dòng)一次半波長(zhǎng)λ/2距離出現(xiàn)一次聲壓極大值，連續(xù)測(cè)量12個(gè)極大值數(shù)據(jù)l1… l12。采用逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，求出波長(zhǎng)平均值和聲速，計(jì)算測(cè)量結(jié)果的不確定度和相對(duì)誤差。

（3）計(jì)算實(shí)驗(yàn)室室溫t下的聲速理論值，求實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

采用駐波振幅極值法測(cè)量超聲波的傳播速度，換能器S1的諧振頻率f0= 40.47 kHz，Δf= 0.010 kHz，溫度t = 26℃。將常溫空氣近似看作理想氣體，該溫度下的理論聲速為。本實(shí)驗(yàn)的測(cè)試數(shù)據(jù)歸納于下表1。

（1）求聲速V的計(jì)算過(guò)程：V = λ f = 8.678 ⅹ10-3ⅹ40470 = 351.2 （m/s）

（2）V的不確定度計(jì)算[2]：

由于聲速V是經(jīng)測(cè)量波長(zhǎng)λ和頻率f后求得，因此，聲速V的不確定度由λ和f的不確定度合成，計(jì)算過(guò)程如下所示。

λ的不確定度計(jì)算：使用螺旋測(cè)微器測(cè)量距離l，儀器讀數(shù)鼓輪的最小分度為0.01mm，則儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差Δ = 0.01 mm，λ的B類不確定度分量為：

因此，f的不確定度計(jì)算：

V的合成不確定度表達(dá)為：

所以聲速的測(cè)量結(jié)果為：?（P = 68.3%）

相對(duì)誤差為：

2.3誤差分析

根據(jù)聲速V的合成不確定度uv可知，uv由波長(zhǎng)λ分量不確定度uλ和頻率 f分量不確定度uf構(gòu)成，并且uλ的貢獻(xiàn)最大，這說(shuō)明，測(cè)量λ時(shí)讀數(shù)l的重復(fù)性引起主要的測(cè)量結(jié)果不確定度。結(jié)合實(shí)驗(yàn)條件，駐波振幅極值法測(cè)量聲速的測(cè)量誤差主要源于駐波場(chǎng)的偏離、波長(zhǎng)λ的測(cè)量誤差、諧振頻率 f的確定誤差以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境影響等方面[3， 6]。具體分析如下：

（1）偏離嚴(yán)格的駐波場(chǎng)。

超聲波在空氣中的傳播，處于近場(chǎng)區(qū)時(shí)并不以簡(jiǎn)諧波傳播，聲壓振幅無(wú)嚴(yán)格的周期性規(guī)律特征;當(dāng)傳播至10cm以上的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，超聲波以簡(jiǎn)諧波傳播，經(jīng)由反射疊加形成駐波。聲速測(cè)量?jī)x的兩個(gè)換能器端面間的最大距離約20cm，實(shí)際實(shí)驗(yàn)操作在兩換能器間距大于4cm后開(kāi)始記錄數(shù)據(jù)，因而，由換能器發(fā)射的超聲波并非全程以簡(jiǎn)諧波傳播，經(jīng)反射疊加也并非形成標(biāo)準(zhǔn)的駐波場(chǎng)。非標(biāo)準(zhǔn)的駐波場(chǎng)導(dǎo)致了在不同區(qū)間測(cè)得振幅的兩個(gè)相鄰極大值的間距λ/2不同，使得測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。另外，接受換能器作為反射端面，也產(chǎn)生散射，激起散射波，影響超聲波入射波與反射波的疊加。

（2）波長(zhǎng)λ的測(cè)量誤差。

轉(zhuǎn)動(dòng)螺旋測(cè)微器的鼓輪調(diào)節(jié)聲速測(cè)量?jī)x兩個(gè)換能器間的距離，記錄聲壓振幅出現(xiàn)極大值時(shí)換能器S2的位置，但對(duì)這樣特殊位置的確定易發(fā)生判斷偏差，引入人為誤差。

（3）諧振頻率 f的確定誤差。

調(diào)節(jié)正弦波輸出頻率等于超聲換能器S1的諧振平率f0，示波器呈現(xiàn)的聲壓電壓達(dá)到最大。盡管正弦波頻率不等于諧振頻率f0時(shí)，超聲聲速測(cè)量?jī)x的聲波發(fā)射器與接收器的間距是半波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，聲壓振幅也達(dá)到最大值，這一現(xiàn)象易引起調(diào)節(jié)諧振頻率f0時(shí)的判斷錯(cuò)誤，造成結(jié)果誤差。

（4）實(shí)驗(yàn)環(huán)境帶來(lái)的誤差。

在教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生人數(shù)較多且實(shí)驗(yàn)操作時(shí)間長(zhǎng)，實(shí)驗(yàn)者的走動(dòng)和呼吸、實(shí)驗(yàn)臺(tái)的振動(dòng)等均影響空氣密度，影響聲波在空氣中的傳播，引起誤差。另外，將實(shí)驗(yàn)室空氣視為理想氣體，計(jì)算聲速理論值亦引入誤差。

3 減小誤差的方法

結(jié)合上述誤差來(lái)源的分析和實(shí)驗(yàn)條件，根據(jù)駐波振幅極值隨位置呈周期性分布的特性，提出以下可能的改進(jìn)方法，從而提高實(shí)驗(yàn)測(cè)量精度。

（1）增加聲速測(cè)量?jī)x兩個(gè)壓電換能器間的距離，以滿足超聲波以簡(jiǎn)諧波傳播，與反射波形成標(biāo)準(zhǔn)的駐波場(chǎng)，盡可能使任一區(qū)間的兩個(gè)相鄰駐波極大值的間距λ/2為一固定常數(shù)，與測(cè)量位置無(wú)關(guān)。

（2）將聲波反射面改用為面積較大的硬質(zhì)材料，提高反射率和降低散射，減小散射對(duì)駐波場(chǎng)的影響。

（3）調(diào)節(jié)正弦波輸出頻率f接近聲速測(cè)量?jī)x換能器的諧振頻率f0時(shí)，使示波器呈現(xiàn)的聲壓振幅達(dá)到極大值，記錄此時(shí)輸出頻率f。同時(shí)，增加兩個(gè)換能器間的距離，若觀察到電壓信號(hào)繼續(xù)增加至最大值，說(shuō)明，此前的正弦波輸出頻率f為發(fā)射換能

器的諧振頻率f0，不是駐波在某距離下的共振干涉頻率[4]。

（4）為減少實(shí)驗(yàn)環(huán)境的空氣密度變化，實(shí)驗(yàn)測(cè)量過(guò)程中，要求操作者身體不觸碰實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，減少不必要的走動(dòng)，保持安靜。

4結(jié)論

本文針對(duì)駐波振幅極值法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差，從聲速V不確定度的組成確定測(cè)量l重復(fù)性是引起結(jié)果不確定度的主要來(lái)源，進(jìn)一步從非標(biāo)準(zhǔn)駐波場(chǎng)、測(cè)量l的人為判斷誤差、諧振頻率f0的確定以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境等方面分析對(duì)測(cè)量結(jié)果造成影響的可能原因，也指出了減小誤差的方法，提高實(shí)驗(yàn)測(cè)量精度。

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資助項(xiàng)目：

2019年佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院高層次人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目“過(guò)渡金屬離子Mn4+摻雜氟化物窄帶紅光材料的合成、結(jié)構(gòu)及其器件應(yīng)用研究”。

作者簡(jiǎn)介：

鄧婷婷（1989-），女，廣東茂名人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院講師，博士，從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)、光源與照明專業(yè)相關(guān)課程教學(xué)和研究。