注重聯系發展素養

摘要：余弦定理是高中數學重要定理之一，它是新高中課程標準幾何與代數這條主線上的必修內容，教師在教學過程中應讓學生了解定理的發生以及形成過程，探索多種不同的推導證明方法，培養學生的發散思維能力，讓學生理解各種方法之間的區別和聯系，關鍵是要能夠利用余弦定理去解決實際問題，使學生能夠在運用定理解決問題中獲得成功體驗，從而加深對知識的理解和記憶。

關鍵詞：余弦定理；教學過程；反思

隨著新一輪高中課程改革的推進，2014年教育部印發《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，當前教師越來越重視學生的核心素養的發展。2017版《普通高中數學課程標準（修訂稿）》強調，將數學核心素養課程目標提到育人的高度，這說明數學素養已成為當代每個公民必備的素養。余弦定理是繼正弦定理之后的又一個準確量化三角形邊角關系的重要定理，同時它也能夠為我們后續解三角形，解決復雜工程測量問題提供重要工具，筆者通過聽了同行老師的教學，發現教師要不斷打破傳統的授課方式，按照新課標理念授課，激發課堂活力，同時要合理地利用多媒體輔助教學，是設計一堂好課的要求，以下是筆者就此次聽課的感受與大家分享，以便今后能更好地指導和改進一線教師的教學設計。

一、反思學情

雖然處于本階段的學生是已具備了一定的知識儲備，是在已經學習了三角函數、向量運算及正弦定理的基礎上學習本節課的，但相對來說本課的內容思維量過大，而該階段學生在空間想象能力和邏輯分析能力方面不夠強，主動探究意識欠缺，使學生在探索余弦定理推導方法的過程中有很大的難度，這也是我在聽課前對老師怎樣解決這個難點所關注的焦點，但通過聽課筆者發現，授課教師并沒有很好的把握住這一階段學生的思維水平，直接將正弦定理作為推導余弦定理的入手點，這對聽課學生來說是很難把握的，所以學情的掌握和分析才是備課成功的關鍵，必須要在基于學生已有的認知水平，設置符合他們思維水平能夠達到的最近發展區的問題。

二、反思教學過程

基于筆者對本次授課教師的實際觀察和分析，回現本節課的教學過程如下：

師：同學們，上節課我們剛學過正弦定理，請同學們跟老師一起回憶一下正弦定理的知識

生：在任意三角形中，都存在有如下恒等式關系（教師板書）

師：看來大家對上節課學的知識掌握的不錯，那正弦定理主要解決什么數學問題呢？

生：兩類解三角形問題

一類是已知兩邊和任意一邊所對的角，求另一邊和另兩個角

另一類是已知兩角和任意一角所對的邊，求另一角和另外兩條邊

師：很好，看來大家對這部分知識掌握的很扎實，那么我們現在來看這樣一個問題：若已知一個三角形的任意兩邊及其夾角，那又該如何求解另一邊和另外兩個角呢？

若已知邊a，b及角C，求邊c ？（請同學們思考一下）

生：可以用之前學過的知識點向量求解

師：不錯，有同學已經在積極動腦思考，那老師提示一下，是否可以用上節課學過的的正弦定理求解？

生：不知道，沒有想過，可以嘗試求解看，應該是可以的

師：若是能求解出來，那也算是正弦定理的另一種應用

師、生：那我們一起來求解一下（教師、學生共同探討）

師：這是利用的上節課所學知識正弦定理所推導出來的，同學們覺得能理解嗎？

生：老師，感覺有點復雜，推導過程較難，不是很容易理解，還有就是你的語速太快了，有的地方思路完全沒跟上，如果是自己來推導一般不會想到這種方法

師：原來是這樣呀！我還以為以你們的基礎應該對這種方法是不難理解的，應該是能夠聯想到的，那你們能用語言總結一下這個式子嗎？

生：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與其夾角的余弦的積的兩倍

師：很棒，看來我們班同學們的總結能力還是很不錯的，我補充一下，一定是夾角與余弦的積的兩倍，要注意描述清楚，語言表述要精練、準確，這也是我們這節課要學的新知識點

余弦定理，它也是解三角形的一個重要定理，那我們再用你們提到的向量法推導看看兩種方法結果是否一致？

若已知邊a，b及角C，求邊c ？

（請同學們思考一下用向量法求解，自主探究）

師：請同學們思考一下，在鈍角三角形中成立，那再銳角三角形中是否也成立呢？

生：（遲疑了幾分鐘，大部分學生）成立的

師：希望你們下課之后能夠再在銳角三角形中去驗證一下，數學是要用事實說話的，不能憑直覺。好，同學們，今天的課后作業是課后習題第1、2題，補充課外作業是回去再思考還有沒有其他推導余弦定理的方法？下節課我們來補充一下

生：好的

通過對以上教學過程的回顧，筆者認為以下兩個方面是在進行本節課教學設計時需要考慮的。

（一）創設問題情境注重聯系生活實際

一個良好的情境引入就形同給學生搭建認知知識的腳手架，它能夠很好地吸引學生注意力，促使學生的好奇心和學習興趣，引起他們主動探索知識的欲望。數學學習是與學生的日常生活密切相關的，數學課堂教學必須創設符合學生的心理發展順序和思維認知規律的情境，創設與學生的生活環境密切相關的情境問題，是一個教師充分挖掘教材本質的關鍵和主體，也是一個教師備一堂好課的。從上面的教學過程來看，我認為教學過程中問題情境的引入并不是很成功，授課只依據教材設計，采用傳統的數學情境作為知識切入點，而沒有從學生比較熟悉的生活情境中去思考著手點。教師備課時需注意的是當前教學不僅僅是只在于要讓學生掌握必備知識與技能，更要能發展他們熱愛數學的情感、態度、價值觀，形成學學生關鍵的品格和必備能力，從而發展自身的核心素養。這樣的課堂設計若是對基礎較差的學生，無疑是會挫傷他們的學習積極性，也沒有讓學生明白為什么要學余弦定理，學習這個知識的目的是什么？只會更讓學生會感覺到有些無所適從和茫然，單純是為了解題嗎？我想并非如此吧，數學應該是要能夠為人類解決實際問題的。

（二）多種方法并舉效果顯著

不同的數學課堂教學內容需要不同的教學方法，不同層次的學生需要不同的教學方法，但是在余弦定理的推導、證明過程中，筆者認為多種方法并舉授課效果好，因為這是高一的數學內容，不同的學習基礎和認知能力的學生需要的方法不同，有的學生擅長幾何法，有的擅長向量法，甚至有的擅長坐標法和正弦定理推導法，所以應該在教學設計過程中，把問題設置成一系列問題串，充分發揮學生所長去解決數學問題，增強學生學好數學的自信心和激發學生學習數學的熱情，引導學生去探究推導余弦定理的各種不同的方法，并且認識到各種不同的方法的區別與聯系，最終選擇最簡單易懂的方法，既能拓寬學生的發散思維，又能訓練學生的輻合思維。

三、核心素養為教學提出新要求

隨著高中新課程改革的推進，《普通新高中數學課程標準》強調，學生發展核心素養已成為適應未來社會發展和個人終身發展的必備品格和關鍵能力，這是學生面對未來世界發展和自身發展面臨的挑戰，那如何將核心素養的理念用來引領教學，這是當前課堂教學改革的主要任務。目前滿堂灌的教學方式，已不再適應新時代高中新課標的理念，它既違背了知識的內在發生規律，又違背了學生的認知發展規律，不可能真正培養學生的數學核心素養，因此必須要改變目前的教學方式和學習方式，落實核心素養必須要以學習方式和教學方式的變革為保證。

解讀高中新課標，核心素養要求教師要分層次化教學，滿足不同學生的差異化需求；核心素養要求教師要整體化教學，實現知識間的橫向聯系；核心素養要求教師要進行主題化教學，讓學生掌握知識與知識間的橫向聯系還不夠，必須要能貫通知識間的縱向聯系；核心素養要求教師要問題驅動教學，實現知識間的橫縱聯系；核心素養要求教師要情景化設計教學，實現由學習走向生活，真實的生活情境在以核心素養為本的教學過程中有著重要的價值，當前教師越發地重視從核心素養的角度進行教學設計。

回歸本節課的教學設計來說，授課教師并未考慮到本節課的知識點對培養學生的數學核心素養的作用，而本節課的余弦定理這一知識點若是認真加以分析，用心設計，其中所包含的數學核心素養是很多的，通過將數學問題進行分析，可以設計數學實驗，這其中設計包含有從特殊到一半的歸納推理，這個過程可以很好地培養學生的邏輯推理和直觀想象的核心素養，又能讓學生體會數學實驗中分類討論的數學思想，利用數學結合的數學思想，培養學生數學抽象素養，整個過程也很符合當前高中階段學生的發展情況，學生抽象思維得到培養，素養得到很大的提升，信息技術很好地支撐數學教學活動，這正是當前授課教師進行教學設計時所應該思考和努力追求的目標，也希望其他一線教師也能夠有所啟發，使自己的教學設計越來越貼近時代發展的要求和理念。

四、情感是激發學生主動學習的關鍵

情感、態度、價值觀是新課標理念的三維目標之一，作為年輕教師（特別是新手教師）的我們擁有著很大的精神財富----擁有激情，我們要以自己最好狀態展現給學生，要把自己所有精力和熱情都投入到學生中去，只有用自己的學識和滿腔的激情才能去最大限度地調動學生學習的熱情，只有自己熱愛數學，潛心專研數學，才能對數學富有飽滿的熱情，這些才能夠潛移默化地不斷影響學生，一個連自己都不熱愛數學的老師又何以教授出熱愛數學的學生呢？教師要對學生充滿耐心和熱情，對學生的數學學習要善于諄諄引導，對學生的課堂提問要積極反饋，對學生的課堂回答要鼓勵評價，不能惡語嘲諷謾罵，這些都能夠幫助教師激發學生主動學習的積極性，增強學生學好數學的信心，而且教師在教學過程中，要注重對學生思維訓練的培養，包括發散思維和收斂思維，給學生主動探究、自我思考的空間，營造一個和諧，民主、平等的課堂學習氣氛，幫助學生能夠輕松愉快的學習。

五、結論

在最新頒布的高中新課標的理念指引下，必須要視核心素養的培養為數學課堂教學目標，為當前的中小學數學課堂教學要注入新的數學文化，以激發學生的學習動力，設計符合課堂數學教學內容的生活情境，提倡問題驅動式的學習，使學生能夠養成在現實生活中主動地發現數學問題，提出數學問題，分析問題、解決數學問題的四能習慣，這也是對學生數學建模的思維訓練，還是學生創新精神和實踐能力培養途徑，讓學生最終能夠學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，通過“三會”表現出來，實現素養育人的目的。

參考文獻：

[1]侯曉娟. 基于數學核心素養的《余弦定理》教學設計[J]. 數學之友， 2017（12）：33-35.

[2]王思儉. 《余弦定理》的教學設計與反思[J]. 數學之友， 2011（8）：14-16.

[3]常磊，鮑建生. 情景視角下的數學核心素養[J]. 數學教育學， 2017，26（2）：24-28.

[4]鄭毓信. 數學教育視角下的“核心素養”[J]. 數學教育學報， 2016，25（3）：1-5.

[5]唐費穎對“余弦定理”教學設計的思考[J]. 中學數學， 2011（6）：8-10.

[6]李正東關于“余弦定理”教學中的一些思考[J]. 科技視界， 2013，30，207.

[7]陳建新課標下如何有效進行教學設計 一“余弦定理”的教學設計與感悟[J]. 數學學習與研究， 2010，17， 61-63.

[8]陳小勇. 新視域下“余弦定理”的教學設計與反思[J]. 數學學習與研究， 2018，16，20.

作者簡介：廖天飛（1995.7—），女，云南省昭通人，重慶市沙坪壩區重慶師范大學大學城校區，學科教學（數學）碩士生。

（重慶師范大學 重慶市沙坪虎溪校區 401331）