解析幾何背景下的數形結合思想的應用研究

翟紅利

摘要：在解決解析幾何問題是很遇到很復雜的計算問題，這是就需要借助數形結合來解決問題。解析幾何將形轉化為了數，完成了形到數的轉化，這就是數形結合思想的一個非常重要的體現，另一個就是我們也需要完成數到形的轉化。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休”。數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透。

關鍵詞：解析幾何;數形結合;以形助數;以數輔形

在多年的教學經歷中，我發現了這樣了一個現象：中等難度的題目，學生是能夠寫出一些必要的過程的，但是往往因為題目的繁雜程度以及計算問題而中途放棄。這類學生已經掌握了一些數學解題的方法，但是對于數學思想的掌握還不到位，在沒有正確數學思想應用的前提下，解題就變得索然無味，從而使學生喪失了解題的樂趣，阻斷了學生繼續研究的動力。因為解析幾何是用代數方法去解決幾何問題，很多學生認為解析幾何就是算，所以上述現象更加嚴重，為了解決這一現象，我們就來研究一下解析幾何中非常常用的一個數學思想：數形結合。

在解析幾何創立以前，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，使形與數統一起來，這是數學發展史上的一次重大突破。解析幾何的基本思想是用代數的方法 來研究幾何問題，基本方法是坐標法。就是通過坐標把幾何問題表示成代數形式，然后通過代數方程來表示和研究曲線。高中階段主要研究的是平面解析幾何。除研究直線的有關性質外，主要研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。解析幾何將形轉化為了數，完成了形到數的轉化，這就是數形結合思想的一個非常重要的體現，另一個就是我們也需要完成數到形的轉化。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休”。數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透。

數形結合的思想有兩方面，一方面是“以數助形”即在解決問題時通過圖形的直觀幫助解題;另一方面是“以形解數”即在解決問題時通過數的計算解決幾何問題，體現了數與形巧妙結合。研究數學的給出條件與所要解答問題的關系，分析其中的代數意義和幾何的直觀，使數與形有機的結合，是數形結合思想的本質。數形結合思想汲取了代數和幾何方法的優點，在學習中經常會應用，在解析幾何中的很多題目中都得到了體現。 運用數形結合思想首先在解析幾何部分要掌握一些曲線的代數特征，在分析具體數學問題時，要分析其中所包含的代數問題和幾何問題兩個方面，然后設出合理的參數，建立相應的關系，做好數量與圖形之間的轉換，最后根據題目要求確定所設的參數。解析幾何解題過程中恰當使用數形結合的思想通常會達到事半功倍的功效。

一、模型的類型

解析幾何是形到數的轉化，我們先來總結一下解析幾何中常用的數學模型，將數和形很好的對應起來：

把“數”對應的“形”找出來，就能把難題化抽象為具體并能揭示隱含的數量關系。一般方法是看形思圖、見數想形。

二、以形助數--借助圖形的直觀理解數量關系

（一）距離型

華羅庚說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微，數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。”數學的數與形是不分家的。已知點為曲線上任意一點，求：的最大值和最小值。首先我們根據條件點P為曲線上任意一點，容易看出此曲線為以，為半徑的圓。而表示點到點的距離，所以需要借助“形”根據圖像可知設點到點的距離為，則 最大值為，最小值為。

根據數的結構特征，構造出與之相適應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，揭示其幾何意義，使數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，并充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題得到解決。比如方程表示的曲線是_____

分析：直接化簡較繁！如能聯想到點到直線的距離公式，數形結合，以形助數，則簡潔明了。

原方程可化為：即動點到定點的距離與到定直線的距離相等方程表示的曲線是拋物線。

（二）斜率型

畢達哥拉斯說過“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。”有些時候通過題意直接分析題求解時很不直觀，不能直接找到突破口;或者求解時計算量很大、很費時間;或者有時根本就無法求解。這個時候就要求我們學會分析轉化題意的能力了，因此恰當的運用數形結合思想就顯得很有必要了，靈活的運用屬性思想不僅可以化解題目難度，還可以做到快、準等意想不到的收獲。

比如，已知點為曲線上任意一點，求：的最大值和最小值.

分析：看成點與點連線的斜率，有圖像可知直線與圓相切是分別取到最大值和最小值。范圍為。

（三）Ax+By截距型

許多題目通常起點都比較大，給人一種難度較大，比較繁瑣的感覺，若我們只是從題干一味琢磨，想直接從已知條件推出結果，往往等待我們的就是死胡同。但我們若是能夠依據題意，用圖形等其他方式把題意表達出來，然后再通過觀察圖形來找出問題的突破口，有時會找到意想不到的收獲，甚至有時會享有一種頓悟后求解的喜悅感。

已知，求的取值范圍。

分析：此題直接求解較難，數形結合聯想直線的截距。結合直線與圓的位置關系即可求。可看作斜率為，過半圓上點的直線在軸上的截距，由圖可知：

（四）圓錐曲線型

已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到軸的距離之和取得最小值時，點的坐標為（?）

分析： 點到點的距離與點到軸的距離之和取得最小值時， 點到點的距離與點到拋物線的準線的距離之和也取得最小值，這樣就可以把點到拋物線的準線的距離轉為到焦點的距離求出. 點在拋物線的外部，要使點到點的距離與點到軸的距離之和取得最小值，根據拋物線的定義知，須使點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小，即三點共線時最小. 由斜率公式得，所以的方程為，

解方程組得，點，故選A.

四、滲透數形結合思想的教學反思

實施數形結合思想教學以來，讓我深深體會到：強化數學思想方法的教學是提高學生學習成績的有效途徑。解題時利用數形結合，思想不僅形象易懂，而且可以幫助學生克服思維定勢，學生還可以進行大膽合理的想象，不拘泥于教師的解題模式。使之前計算繁瑣的題目變得簡單，極大的提高了學生學習數學的興趣。因此，我們應該抓住數形結合的解題契機：（1）在審題時與解題前，運用數形結合的思想方法勾畫題目大意，完善認知結構，確定解題思路，做到胸有成竹，從而有條不紊地解題。（2）在解題過程中，通過適當轉換變形后，運用數形結的思想方法調整解題背景。利用數形結合思想能優化解題思路，把問題化難為易、化繁為簡，體現數學和諧統一之美。代數中的“楊輝三角”和幾何中的“黃金分割”都是數學中的和諧統一美的典例。和諧統一的數形結合可以使解析幾何復雜問題簡單話，抽象問題具體化，讓學生重拾對解析幾何的信心。而且數與形的巧妙結合能使學生從邏輯推理中領略到數形和諧統一美的神韻。

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