在小學數學教學中培養學生推理能力的策略

黃蘇萍

摘要：在小學數學教學中培養學生的數學推理能力，是一個非常重要的教學目標。數學推理能力的培養應貫穿于數學教學的始終，因為數學推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。教學中，我們可以通過三個策略來發展學生的數學推理能力：以“猜想驗證”為載體，發掘相同屬性，促類比推理能力的提升;以“巧妙轉化”為橋梁，溝通知識聯系，促演繹推理能力的發展;以“探求規律”為抓手，深入問題本質，促歸納推理能力的提高。

關鍵詞：數學推理能力;類比推理能力;演繹推理能力;歸納推理能力

數學推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理又包括類比推理、歸納推理等合情推理。在解決數學問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。

數學推理能力是《義務教育數學課程標準（2011年版）》所提出的十個“核心詞”之一，《義務教育數學課程標準（2011年版）》在其教學總目標 “數學思考”部分指出：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。對于第一學段學段（1-3年級）的學生來說，應學會在觀察、操作等活動中能提出一些簡單的猜想。對第二學段（4-6年級）的學生來說，要學會觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。”可見，在小學數學教學中，培養學生的數學推理能力，是一個非常重要的教學目標。

數學推理能力的培養應貫穿于數學教學的始終，因為數學推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。培養學生的數學推理能力，是發展和培養學生創新能力的基礎，也是發展學生創新能力的必要條件。同時，推理又在很大程度上推動著學生運算能力和空間想象能力的發展，推動著學生嚴謹科學的學習態度的養成。

一、以“猜想驗證”為載體，發掘相同屬性，促進類比推理能力的提升

類比推理是根據兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，簡稱類推。類比推理的前提是需要兩個或兩類對象有部分屬性相同，此為類推的基礎。學生進行類推的過程需要有一定的載體，這個載體就是“先猜想后驗證”的學習過程。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維作出各種猜想，然后加以證實。”“先猜想后驗證”是科學探究的一般規律，學生在猜想“可能是什么”之后，運用各種方法進行求證判斷“為什么”，從而得出結論，這個過程就是推理過程。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》四年級下冊第五單元“四邊形的內角和”時，學生已經有了“三角形的內角和是180度”的基礎，因此教師可以借助“猜想驗證”的方式，組織學生進行類比推理，猜想四邊形的內角和。在教學中，要發掘三角形內角和與四邊形內角和的相同的屬性，為學生的類比推理提供兩方面的基礎：一是知識內容的類推基礎。學生已經具備了“三角形的內角和”的知識基礎，而“四邊形的內角和”與“三角形的內角和”之間存在著聯系，都屬于多邊形的內角和，內角和和邊數之間存在著聯系，有部分屬性是相同的，為類比推理提供了條件。二是方式方法的類推基礎。學生學習三角形的內角和時，學會了應用量一量、算一算、剪一剪、拼一拼等操作方法來驗證三角形的內角和，這為研究四邊形的內角和類比推理提供了方法支持。

在此基礎上，還要為學生提供猜想的機會，讓學生猜想“四邊形的內角和可能是多少”，然后組織學生開展“猜想—驗證—總結”的探究活動。學生從特殊的四邊形（長方形和正方形）入手，了解了這些特殊的四邊形有四個直角，內角和就是360°，從而猜測其它的四邊形的內角和可能是360°。這樣，學生自然而然地就能夠將三角形內角和的驗證方法進行遷移，進而開展四邊形內角和是否為360°的驗證活動。然后，學生對不同的四邊形展開探究，通過與三角形內角和驗證活動相似的“剪一剪”“拼一拼”“量一量”等操作活動，開展類比推理活動，驗證無論是哪種四邊形，內角和均為360度的結論。這讓學生親歷了知識的形成過程，有效地發展了學生的類比推理能力。

二、以“巧妙轉化”為橋梁，溝通知識聯系，促進演繹推理能力的發展

演繹推理是獲得新的數學結論的思維形式與方法，其實質是以一般性的公理、原理、定律和相關事實為前提，遵循一定的邏輯規則，得出個別或特殊結論的思維形式。進行正確的演繹推理，關鍵在于要有理有據。在小學階段，培養學生的演繹推理能力，需要讓學生能收集、選擇、處理數學信息，并尋找分析出信息之間的關系，找到推理的有力依據。轉化是尋找依據的重要手段，它是數學中最常用的思想，其精髓在于將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題，學生的數學學習中到處都滲透著轉化的思想。

在驗證四邊形的內角和是360°時，缺少轉化的過程，是無法推理出結論的。特殊的四邊形，即長方形和正方形的內角和可以通過計算直接證明出結論。但是，一般的四邊形卻無法直接推理出來，這時就需要溝通“三角形內角和”與“四邊形內角和”之間的聯系，形成如圖1的思維過程。

如圖1所示，在一般四邊形的內角和的驗證過程中，需要利用轉化，搭建起“三角形內角和”與“四邊形內角和”之間的橋梁。應引導學生作輔助線，將四邊形轉化成已學過的三角形。因為一個四邊形可以分割成兩個三角形，兩個三角形的內角和之和正好等于四邊形的內角和，一個三角形的內角和是180度，所以四邊形的內角和是180度加上180度等于360度。借助“轉化”這個橋梁，學生能輕松地驗證四邊形的內角和是360度這一結論。這樣，在更好地理解“四邊形的內角和是360度”這個知識點的同時，學生的思維經歷了演繹推理的過程，推理能力也得到了發展。

三、以“探求規律”為抓手，深入問題本質，促進歸納推理能力的提高

學生的學習是一個從簡單到復雜、從具體到抽象、從特殊到一般的循序漸進的過程，前面學習的知識往往是后面進一步學習的基礎。而歸納推理是一種由個別到一般的推理，是從認識研究個別事物到總結、概括一般性規律的推斷過程。引導學生對所學的知識進行拓展和總結，也是一個提升歸納推理能力的過程。培養學生的歸納推理能力，可以深入問題本質，讓學生經歷探求規律的過程，以實現其思維從特殊到一般的飛躍。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》四年級下冊第五單元“四邊形的內角和”一課時，我根據多邊形內角和的本質內涵，設計了一個拓展練習，讓學生在已經認識的三角形內角和與四邊形內角和的基礎上，開展拓展研究。設計了表格，將學生研究的三角形、四邊形的內角和延伸到了五邊形、六邊形……等多邊形的內角和（如表1）。

最終，學生完成表格時采用了兩種方法。第一種方法如表2所示：

運用這種方法，學生思考要經歷四個步驟：第一步，通過畫一畫，發現每個多邊形都可以分割轉化為若干個三角形;第二步，這些三角形的內角和之和正好等于多邊形的內角和;第三步，通過觀察，發現分割的三角形的個數與多邊形的邊數之間存在聯系，即三角形的個數=多邊形的邊數-2;第四步，推理出多邊形的內角和公式：多邊形的內角和=180°×（邊數-2）。第二種方法如表3所示：

運用第二種方法，學生的思考也要經歷四個步驟：第一，通過畫一畫，發現每個多邊形都可以分割轉化為若干個三角形;第二，這些三角形的內角和之和，比多邊形的內角和多出一個周角;第三，通過觀察，發現分割的三角形的個數與多邊形的邊數之間存在聯系，即三角形的個數等于多邊形的邊數;第四，推理出多邊形的內角和公式：多邊形的內角和=180°×邊數-360°。

無論學生用以上哪種方法去思考，每種方法的四個步驟實際就是歸納推理的過程，從特殊多邊形的內角和中找出規律，從而歸納出求多邊形內角和的公式，實現從特殊到一般的推理過程，既能訓練產生的思維，又能培養他們的歸納推理能力。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011 年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[4]吳正憲，劉延革.發展兒童數學關鍵能力[M]. 北京：教育科學出版社，2017.

[5]史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理，2017（1）.

（責任編輯：楊強）