試論初中數學課堂的數學思想式教學

趙仙

摘 要：數學思想是數學的靈魂，數學方法是使這一靈魂得以展現的途徑。新課標提出：“初中數學的基礎知識主要是代數幾何中的性質概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內容所反映出來的數學思想和方法”。

關鍵詞：數學思想；數學靈魂

從心理發展規律看，進行數學思想方法教學是發展青少年思維的重要途徑。所謂數學思想方法，就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論（概念、定理、公式、法則等）的本質認識。從學習的認知結構理論來看，進行數學思想方法教學對數學認識結構發展起著重要作用。中學數學中的主要思想：數形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想。

一、數形結合思想

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，因而數學研究總是圍繞著數與形進行的。“數”就是方程、函數、不等式及表達式，代數中的一切內容；“形”就是圖形、圖象、曲線等。數形結合的本質是數量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數量關系。數形結合就是抓住數與形之間的內在聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形。華羅庚曾說：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺。數形結合不僅使幾何問題獲得了有力的代數工具，同時也使許多代數問題具有了顯明的直觀性。把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數與幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合，是初中數學中十分重要的思想。應用數形結合思想，就是將數量關系和空間形式巧妙結合在數學問題的解決中，具有數學獨特的策略指導與調節作用。數是形的抽象概括，形是數的幾何表現，兩者其實緊密結合，以此來尋找解題思路，可以使問題得到更完善的解決。

例如，二元一次方程組的圖像解法，把數量關系問題轉化為圖形性質：A，B 兩地之間修建一條l 千米長的公路，C 處是以C點為中心，方圓50 千米的自然保護區，A 在C 西南方向，B在C的南偏東30 度方向，問公路AB 是否會經過自然保護區？

二、化歸思想

所謂化歸，即轉化與歸結的意思，就是把面臨的待解決或未解決的問題歸結為熟悉的規范性問題，或簡單易解決的問題，或已解決了的問題。化歸與轉化思想：在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想稱為轉化思想。體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程。人們解決問題都自覺不自覺地用到化歸的思想，這是一種知識的遷移。在整個初中數學中，化歸思想一直貫穿其中。從這個意義上講，人類知識向前演進的過程中，也都是化新知識為舊知識，化未知為已知的過程。因此，化歸是一種具有廣泛的、普遍性的、深刻的數學思想，也是解決數學問題的有效策略，它在數學教學中也顯示了巨大的作用。

例如，對于整式方程（如一元一次方程、一元二次方程），人們已經掌握了等式的基本性質、求根公式等理論。因此，求解整式方程的問題就是規范問題，而把有關分式方程去分母轉化為整式方程的過程，就是問題的規范化，實現了“化歸”。

三、分類討論

分類討論思想：就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。數學中的分類有現象分類和本質分類兩種，前一種分類是以分類對象的外部特征、外部關系為根據的，如復數分為實數與虛數等，這種分法看上去一目了然，但不能揭示所分對象之間的本質聯系；后一種分類是按對象的本質特征、內部聯系進行分類的，如函數按單調性或有界性分類，多面體按柱、錐、臺分類等。

數學分類討論思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。初中數學教材和學習輔導資料中有這樣的問題，中考數學試題中也經常會出現與分類有關的問題。在初中數學教學中使用分類討論的思想研究和解決問題，有助于讓學生發現解題思路和掌握技能技巧，做到舉一反三，觸類旁通；有助于培養學生學習數學的興趣；有助于學生數學思維的發展，為學生今后的學習奠定堅實的基礎。初中數學分類討論思想應用很廣泛，中考中常涉及此類問題。有概念的分類；有解題方法上的分類；還有幾何中圖形位置關系不確定的分類等等。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。教學過程中我們要利用學生已有的認識基礎，把生活中的分類遷移到數學中來，在數學教學中進行分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。

例如

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD。（1）畫出四邊形ABCD；（2）求四邊形ABCD的面積。

分析：含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊兩類情況來研究。

解：情況1：如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD（∠DAC=30°和∠DAC=60°這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同的，故歸納為同一類）。

情況2：如圖2和3，AC為直角邊又可分為二種不同情況。由圖1，S四邊形ABCD=；由圖2，可算得S四邊形ABCD=；由圖3可算得S四邊形ABCD=。

總之，義務教育數學新大綱指出：“初中數學的基礎知識主要是代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法。”通過這些數學方法的使用，使學生充分領略數學思想在數學領域里的地位與作用。

（作者單位：浙江省瑞安市閣巷中學）