在概念教學中如何體現數學的“自然之美”

楊旭

李邦河院士說過：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”這句話足以看出數學概念在整個數學體系中的分量，回顧數學史的發展，每次數學概念上有新的突破，都會在數學領域產生重大的影響，甚至推動數學跨越式的發展。那么在平時概念教學中，教師該如何安排課程內容，讓學生自然地體會到數學的美學價值呢？

1.數學概念的發展是函數認知發展的“自然需求”

“函數的概念”是學生在高中學習到的第一個重要概念，是對中學所學函數概念的繼承和發展，函數概念由中學的變量說到高中的對應說其實是由函數史上一次次演變發展而來，每一次的發展變化在數學史上都有其現實意義，是對原有函數概念的進一步認知。在函數概念的教學中，應讓學生充分認識到函數概念的發展不是憑空產生的，而是有其現實基礎，是一個自然產生的過程。

1.1學生現有認知水平分析

事實上學生在中學階段已經學習過函數的概念，并且了解了一些簡單的初等函數，其中有一次函數，二次函數和反比例函數。但是他們對函數的理解只停留在具體化階段，是一種感性認知，只要一提到函數，他們首先想到的是具體的函數解析式，狹隘地認為函數只有解析式一種表示形式。事實上，中學課本已經有過介紹，函數的表示方法有解析法，圖像法和列表法，但是學生未能將三者通過函數的概念很好地統一起來，出現這種情況的根本原因是學生對函數概念的理解不到位，未將函數概念的認知抽象概括到一定的高度。所以說學生在高中學習函數概念之前，對函數的認知是片面的，這些片面的認知會對函數進一步深入的研究造成阻礙，因此對函數概念的深入學習是進一步學習函數的性質和函數運用的自然需求。

1.2函數概念教學的預期目標

通過函數概念教學應該讓學生達到以下學習目標：①了解函數概念的繼承和發展，中學的“變量對應”說發展到高中的“集合對應”說。②掌握函數的抽象符號表示y=f（x）。函數的符號化本質上就是在理解函數概念的基礎上，對具體函數進行抽象概括，將函數的三種表示法即對應的三種形式進行概括統一，體現了函數概念從特殊到一般的一個自然學習過程。

2.教學中如何做到“道法自然”

2.1尋找問題的實際背景

普通高中課程標準實驗教科書（人教版）必修1的主編寄語有這樣一段話，數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味。函數概念這一課，書本一開始就舉出了三個生活實例，體現了數學源于生活，用于生活的理念，同時也隱晦地向學生傳遞了“函數是描述客觀世界變化規律的一種重要模型”。在介紹第一個實例時，教師可以先不告訴學生炮彈經過26秒落地和射高是845米這兩個數據（事實上學生通過解析式自己可以求出），只是給出炮彈高度h關于時間t的函數解析式h=130t-5t2，然后直接提問：①炮彈最高高度是幾米？②經過三十秒后炮彈高度是幾米？學生根據中學所學知識可以快速回答第一個問題，炮彈最高845米。回答第二個問題時，學生把t=30代入解析式發現高度是-600米，顯然與問題實際背景不符，因此發現實際問題中自變量通常是有取值范圍的，該例子中自變量t的取值范圍把它寫成集合的形式是{t|0≤t≤26}。此時可以進一步追問，應變量是否也有取值范圍呢？學生較容易回答出的取值范圍，寫成集合的形式是{h|0≤h≤845}。這個時候教師再向學生介紹定義域和值域的概念是水到渠成的。

2.2巧設問題，制造認知沖突

提出問題是課堂教學的一個重要環節，這個問題可以教師提出，也可以在教師引導下由學生提出，提問的目的是引起學生的思考和激發學生的探知欲，是自然引出后續學習內容的一個重要環節。愛因斯坦曾經說過：“提出問題比解決問題更加重要。”那么在課堂教學中，教師該如何設置問題呢？不同的教師，不同的問題，體現了不同的教學藝術，但筆者認為，課堂教學中一個好問題的前提是問題本身應該落在學生學習的“最近發展區”，讓學生直覺感知到，答案已經非常接近或者完成新內容的學習并不是十分困難。例如在函數概念教學中，教師介紹完定義域與值域的概念后，可以在此基礎上提出問題①：當時間t滿足條件{t|t>26}時，你能寫出炮彈高度h的滿足的關系式嗎？學生能夠快速得出h=0。教師緊接著又提出問題②：h=0，{t|t>26}是函數嗎？這次學生的第一反應是，不是函數，因為它沒有變量t。教師接著提出問題③：你能畫出h=0，{t|t>26}的圖像嗎？從圖像看它是函數嗎？這時候學生陷入到沉思之中。教師通過巧妙設計一連串的問題，制造了學生對函數概念的認知沖突，自然發現原有的函數概念已經不能回答諸如此類的為題了，那么接下來學生自然會想要知道，新的函數概念該如何定義呢？這時教師又提出問題④：原先中學的定義是把函數看成兩個變量之間的對應，現在我們已經學過集合了，那么我們現在能不能把函數看成兩個集合之間元素的一種對應呢？書本上給的三個實例是不是都可以這么看呢？學生仔細觀察，一一驗證，發現用三種方法表示的函數都可以看成兩個集合之間元素的一種對應。最后教師再給出問題⑤：你能模仿中學的定義函數的語言，給高中函數進行定義嗎？經過學生的多次歸納總結，最終較容易地得出了高中函數的概念。

3.結束語

高中數學教學內容中，類似函數概念這樣的概念教學還有很多，每一次數學新概念學習，相當于在數學這幢大廈中打開了一個新房間，每一個房間都有其獨特的趣味和美麗。我們教師應該教會學生如何才能更輕松自然地到達一個又一個這樣絢麗多彩的新房間，并能在房間中享受到數學的神奇之美，高冷之美和簡潔之美。與此同時，走在探索數學之美這條道路的過程中，還能讓學生感受到數學的“自然之美”。