廣義延拓逼近法在GPS衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插中的精度分析

摘要：為了得到更高精度的GPS衛(wèi)星在任意時(shí)刻的位置信息，需要利用合適的數(shù)學(xué)模型去內(nèi)插精密星歷。首先，說明廣義延拓逼近法、拉格朗日多項(xiàng)式插值法及切比雪夫擬合法的原理，然后分別利用這三種方法處理GPS精密星歷，通過對(duì)比分析三種方法所得結(jié)果誤差的最大值與平均值發(fā)現(xiàn)：使用廣義延拓逼近法所得結(jié)果的精度略高于拉格朗日多項(xiàng)式插值法和切比雪夫多項(xiàng)式擬合法。

關(guān)鍵詞：廣義延拓逼近法;GPS衛(wèi)星;精密星歷;內(nèi)插精度分析

中圖分類號(hào)：P228.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： In order to obtain higher-precision position information of GPS satellites at any time， it is necessary to use proper mathematical models to interpolate the precise ephemeris. Firstly， the principles of generalized extended approximation method， Lagrange polynomial interpolation method and Chebyshev fitting method are explained. Then， these three methods are used to process GPS precise ephemeris respectively. The maximum and average values of the error results of the three methods are compared and analyzed. It is found that the results precision of generalized extended approximation is a little higher than that of Lagrange polynomial interpolation method and Chebyshev polynomial fitting method.

Key words： generalized extended approximation method; GPS satellites; precise ephemeris; interpolation precision analysis

0? 引言

在處理GPS衛(wèi)星定位數(shù)據(jù)時(shí)，常需要任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，但是其精密星歷僅提供15min或5min時(shí)間間隔的離散衛(wèi)星坐標(biāo)，因此需要插值法和擬合法對(duì)精密星歷進(jìn)行內(nèi)插處理，這兩類方法都有自身的優(yōu)勢(shì)和不足。常用的插值法和擬合法分別為Lagrange多項(xiàng)式插值法和切比雪夫多項(xiàng)式擬合法。

本文將獲取的GPS精密星歷作為原始數(shù)據(jù)，采用另一種結(jié)合了插值法與擬合法特點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法——廣義延拓逼近法，分別采用該法與Lagrange多項(xiàng)式插值法、切比雪夫多項(xiàng)式擬合法對(duì)1顆GPS衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插，將內(nèi)插結(jié)果與已知數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)求差，并統(tǒng)計(jì)誤差結(jié)果的最大值與平均值，以此研究該法相對(duì)于插值法和擬合法是否具有更高的插值精度。

4? 滑動(dòng)式插值算法

所謂滑動(dòng)式算法，就是通過不斷地移動(dòng)插值區(qū)間，使待插值點(diǎn)始終位于插值區(qū)間的中心。例如采用Lagrange多項(xiàng)式插值法，第一次選取插值點(diǎn)1～10 ，構(gòu)造9 階的Lagrange多項(xiàng)式 ，則待插值點(diǎn)處于第5個(gè)和第6個(gè)插值點(diǎn)之間;第二次選取插值點(diǎn)2～11，構(gòu)造9 階的Lagrange多項(xiàng)式，則待插值點(diǎn)處于第6個(gè)和第7個(gè)插值點(diǎn)之間。在本文中，三種插值方法均采用滑動(dòng)式。

5? GPS精密星歷算例分析

從網(wǎng)址ftp：//cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/products/下載了2018年 12月29日的GPS精密星歷文件，該文件包含了32顆MEO衛(wèi)星，并以15min為采樣時(shí)間間隔，其采樣區(qū)間為0：0：0～23：45：0。將時(shí)的衛(wèi)星坐標(biāo)作為已知的插值節(jié)點(diǎn)，分別采用滑動(dòng)式廣義延拓逼近法、滑動(dòng)式Lagrange多項(xiàng)式插值法、滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合法內(nèi)插出時(shí)的衛(wèi)星坐標(biāo) ，并與精密星歷中的衛(wèi)星坐標(biāo)對(duì)應(yīng)求差，統(tǒng)計(jì)誤差最大值和平均值，從而分析插值精度。

本算例隨機(jī)選取了其中的1號(hào)GPS衛(wèi)星的精密星歷進(jìn)行內(nèi)插處理分析。表1、表2、表3分別是利用廣義延拓逼近法、Lagrange多項(xiàng)式插值法、切比雪夫多項(xiàng)式擬合法對(duì)1號(hào)GPS衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插的結(jié)果，因文章空間限制，表1，表2，表3中僅列舉部分有代表性的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

由表1知，r，t，s有許多不同組合，取值不同的r，t，s，其插值精度也有所不同。當(dāng)r，t，s的值較小時(shí)，例如當(dāng)r=2，t=3，s=4時(shí)，誤差最大值達(dá)千米級(jí)，插值精度非常差。隨著r，t，s取值的增大，在一定范圍內(nèi)誤差隨之減小，當(dāng)r=14，t=22，s=23，插值精度達(dá)到最高，這時(shí)X，Y，Z坐標(biāo)誤差最大值分別為3.3mm，6.5mm，2.9mm，平均值分別為0.6mm，0.9mm，0.6mm。此后再增加r，t，s的值，插值精度反而會(huì)降低，即存在使插值精度最高的最優(yōu)r，t，s組合值。

表2中，插值多項(xiàng)式階數(shù)較小時(shí)，誤差比較大，隨著階數(shù)的增加，其插值精度隨之提高。當(dāng)階數(shù)為12時(shí)，誤差最大值均達(dá)到毫米級(jí)，插值精度相對(duì)比較高。插值精度最高時(shí)的X，Y，Z坐標(biāo)誤差最大值分別為4.1mm，6.1mm，2.5mm。階數(shù)達(dá)到23后再提高階數(shù)，其插值精度并沒有很明顯提高。

表3中同樣可看出，當(dāng)擬合多項(xiàng)式階數(shù)較小時(shí)，誤差較大，在一定范圍內(nèi)，增加擬合多項(xiàng)式的階數(shù)會(huì)提高擬合精度，當(dāng)階數(shù)為12時(shí)，誤差最大值均達(dá)毫米級(jí)，但是階數(shù)增大到一定程度后，誤差反而會(huì)增大，擬合精度降低。當(dāng)X，Y，Z坐標(biāo)誤差最大值分別為4.2mm，6.2mm，2.6mm時(shí)，插值精度相對(duì)最高，此時(shí)階數(shù)達(dá)到27左右。這時(shí)，三種方法所得結(jié)果誤差的平均值差別不大。因此通過比較分析，當(dāng)處理的數(shù)據(jù)相對(duì)較少時(shí)（1顆GPS衛(wèi)星精密星歷），廣義延拓逼近法所能達(dá)到的最高內(nèi)插精度略高于切比雪夫多項(xiàng)式擬合法和Lagrange多項(xiàng)式插值法。

6? 結(jié)束語

本文采用了三種不同的內(nèi)插方法，對(duì)比分析了1顆GPS衛(wèi)星的精密星歷內(nèi)插精度，經(jīng)算例分析可以得到以下結(jié)論：

1）進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，為了得到理想精度的計(jì)算結(jié)果，往往需要選擇合適的方法模型，因此面對(duì)不同的實(shí)際問題，就要具體分析。

2）在處理1顆GPS衛(wèi)星的精密星歷時(shí)，使用廣義延拓逼近法所得結(jié)果的精度略高于Lagrange多項(xiàng)式插值法和切比雪夫擬合法。

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作者簡介：黃馨婭（1998-），女，漢族，山東菏澤人，本科在讀，主要研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué).

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