基于滑模控制技術的視覺板球控制系統設計

韓治國 李偉 馮興 陳能祥

摘?要：針對視覺板球跟蹤控制問題，基于線性化動力學模型，研究了基于滑模變結構控制技術的視覺板球跟蹤控制。首先，根據板球系統的物理模型，推導了視覺板球的動力學模型，在小角度假設下，對建立的動力學模型進行了線性化，并建立了系統的狀態空間模型。其次，針對建立的狀態空間模型，通過設計線性滑模面，結合新型非線性滑模趨近律，設計了視覺板球滑模控制律，并基于Lyapunov穩定性理論，對設計的滑模控制律進行了穩定性證明。最后，將設計的控制律代入建立的狀態空間模型進行仿真驗證，同時與現有的控制方法（極點配置與LQR）進行對比仿真。仿真結果表明，設計的滑模控制律漸近穩定，并且具有良好的控制精度與系統收斂速度，穩定精度高，可實現視覺板球位置跟蹤控制。關鍵詞：視覺板球;位置跟蹤;滑模控制;新型趨近律;Lyapunov穩定性中圖分類號：TP 13

文獻標識碼：A?文章編號：1672-7312（2019）06-0679-06

Control system design for visual cricket based on sliding model control

HAN Zhi-guo1，LI Wei1，FENG Xing2，CHEN Neng-xiang2

（1.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China;2.Shenzhen Qianhaigezhi Technology Co.，Ltd.，Shenzhen 518000，China）

Abstract：In this paper，aiming at the issue of visual cricket tracking control，on the basis of the linearized dynamic model，the visual cricket tracking control law based on the sliding mode control technology was studied.Firstly，according to the physical model of visual cricket system，the dynamic equation was derived.And with the small-angle hypothesis，the dynamic equation was linearized to establish the state equation.Secondly，on the basis of the linearized state equation model，the new sliding mode control law were designed through the linear sliding mode surface and the new sliding mode approaching law.And the stability of the designed sliding mode control law was proved based on the Lyapunov stability theory.Finally，the obtained control law was substituted into the linearized state equation model to carry out verification.Comparative simulations were carried out with existing control methods.The simulation results showed that the control law designed in this paper was asymptotically stable，and also had satisfactory control precision，system convergence rate and stable precision.So it could achieve the control of visual cricket tracking.

Key words：visual cricket;position tracking;sliding mode control;new type reaching law;Lyapunov stabilization

0?引?言

當前，我國在“新工科與中國教育現代化”建設的背景下，迫切需要高等院校培養具有創新能力和實際動手能力的航天科技人才，動手能力的培養面臨著巨大的挑戰。作為控制學科的人才培養，視覺板球系統是很好的實驗平臺[1-2]。視覺板球系統是進行自動控制原理、現代控制理論實驗的典型實驗裝置，該實驗裝置通過工業攝像機實時拍攝平板上小球的位置，通過圖像分析方法計算小球在平板上的相對位置，將得到的小球位置與實驗前設定的小球理想位置進行對比，根據位置差，基于PID、LQR、滑模控制等控制理論實時控制電機的轉速，控制小球在平板上進行移動，進而控制小球到達理想位置[3-5]。

視覺板球系統的結構如圖1所示，圖1（a）為視覺板球原理圖，圖1（b）為視覺板球實物圖[6]。本課題的研究目的是控制小球穩定在給定位置（該位置可任意設定，不超出視覺系統的探測范圍與平板的大小即可）。

目前，針對視覺板球系統的控制器設計問題，國內許多高校進行了大量研究，如西華大學的徐云云[7]針對離散系統設計了離散滑模控制律，內蒙古科技大學的吳何琛[8]基于LQR控制理論進行控制器設計、中南大學的呂凱[9]設計了PID板球控制律、北京理工大學的董振曄[10]研究了自抗擾控制，雖然這些控制方法均取得了較為良好的控制效果，但是所設計的控制律均需較大的電機轉角角加速度，不易工程實現。

文中針對視覺板球系統，在現有研究成果的基礎上，基于滑模控制理論，設計滑模控制率，實現對視覺板球系統的控制。最后，通過仿真實驗，驗證本文設計方法的有效性，并與狀態空間極點配置、LQR控制進行對比仿真，通過實驗對比，進一步說明該設計方法的有效性。

1?板球系統的物理建模

針對深圳前海格致科技有限公司設計的視覺板球系統進行研究，視覺板球的簡化結構圖如圖2所示。在以下進行系統建模時，參考了文獻[6，11-12]的建模方法。

1.1?小球的動能建模

Tb=12m（2+2）+

12Ib（ω2x+ω2y）

由于小球在運動過程中沒有滑動，從而

=rbωx，=rbωy

（2）

將式（2）帶入式（1），有

Tb=

12m+Ibr2b

（2+2）

（3）

1.2?平板的動能建模

Tp=12Ip（2+2）

+12（Ib+m|Ω×r|2）（2+2）

（4）

又|Ω×r|2=

（x+y）2

2+2

，代入得

Tp=12（Ib+Ip）

（2+2）+12m

（x+y）2

（5）

1.3?零勢能點選擇為坐標原點

則小球勢能為

Vb=mg（xsinα+ysinβ）

（6）

并將式（5）和式（6）帶入拉格朗日方程

ddt

L

i

-L

i=Qi

，得系統的方程組為

x：m+Ibr2b

-m（x2+y）+mgsinα=0

y：m+Ibr2b

-m（y2+y）+mgsinβ=0

α：（Ib+Ip+mx2）+mgxcosα+m（xy+y+x+2x）=τx

β：（Ib+Ip+my2）+mgycosβ+m（xy+y+x+2x）=τy

（7）

1.5?板球系統的模型簡化

由于板的轉動角度范圍不大（±6°），在小角度下有

sinα≈α，sinβ≈β.從而對穩定狀態附近微分方程式（7）中式（a），（b）進行線性化得

x：m+Ibr2b

+mgα=0

y：m+Ibr2b

+mgβ=0

（8）

取

x，，

α，，y，，β，為系統的狀態，平板的角加速度為控制量。令

x=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]T

=[x，，

α，，y，，β，]T，y=xu=

[，]T

則系統的狀態空間描述方程為[4]

=Ax+Bu

y=x

（9）

其中，矩陣A，B參見文獻[6]。取g=9.81 m/s2，小球的轉動慣量

Ib=25mr2b

，帶入中，有g=7.007.當設

xx=[x1，x2，x3，x4]T，

xy=[x5，x6，x7，x8]T，

可得

x

=1

2

3

4

=Axxx

+bxux，yx=[1，0，0，0]xx，

Ax=

0100

00-7.0070

0001

0000

通過式（10）和式（11）可以看出，x，y方向的運動狀態是解耦的且系統模型完全一致，因此本文只針對x方向進行控制系統設計。

2?滑模控制器設計

2.1?控制律設計

滑模控制系統中的運動過程可由2個階段組成：第一階段是趨近階段，它完全位于滑模面之外，或者有限次的穿過滑模面;第二階段是滑動模態，完全位于滑模面上的滑動模態區[13-15]。因此，可將滑模變結構控制

u（x，t）分為切換控制與等效控制：即

un（x，t）

與

ueq（x，t）.

文中針對線性化板球控制方程，采用如下的滑模面[16-17]

S（x，t）=Cx

（12）

式中?S（x，t）為設計的滑模面，是關于狀態與時間的函數;

C為適維矩陣。

為使系統能快速接近切換面，并且改善其抖振現象，采用新型趨近律[18-20]

=-εfal（s，η，δ）-karsh（s）

其中，0<δ<1，η>0，ε>0，δ為fal（s，η，δ）在原點附近正負對稱線性段的區間長度，并且fal（s，η，δ）為非連續函數。

針對文中設計的滑模面（12）與趨近律（13），設計的控制律如下式所示

u（x，t）=

ueq（x，t）+un（x，t）

un（x，t）=-（CB）-1（εfal（s，η，δ）+karsh（s））（17）

2.2?穩定性證明

證明：選擇如下的Lyapunov函數

V=12ST（x，t）S（x，t）

（18）

對上式求導可得

=ST（x，t）（x，t）

=ST（x，t）C

=ST（x，t）C（Ax+Bu）

（19）

將設計的控制律式（15）～式（17）帶入式（19），可得

=ST（x，t）（CAx+CBu）

=

ST（x，t）（CAx-CAx-εfal（s，η，δ）-karsh（s））

=ST（x，t）（-εfal（s，η，δ）-karsh（s））

=-ST（x，t）（εfal（s，η，δ）+karsh（s））≤0

因此，文中設計的控制律漸進穩定。

3?仿真分析

文中針對系統模型（10），采用設計的控制律（15）進行仿真驗證。系統模型參數見式（10），滑模面參數：δ=0.02，k=6，η=0.5，ε=0.01.設定的小球跟蹤位置為x=0.2.

根據給定的仿真參數，仿真結果如圖3～圖8所示。 圖3為小球位移曲線，可以看出，經過6 s左右，小球能夠穩定到給定位置，穩態誤差為1.073 6×10-10. 圖4為小球移動過程中小球速度曲線，同樣，經過6 s左右，小球的速度幾乎為0.圖5為小球移動過程中，電機轉角曲線，圖6為電機轉角角速度曲線。從圖中可以看出，電機轉角角度范圍為[-2.5，2]，電機轉角角速度范圍為[-5，5]。

圖7為小球移動過程中，電機的角加速度曲線，即系統的控制律，從圖中可以看出，在小球移動過程中，電機角加速度曲線變化非常平穩，大約6 s后，電機停止轉動，小球穩定在給定的位置上，電機轉角角加速度范圍為[-0.6，0.3]。圖8為文中設計的滑模面變化曲線，可以看出，大約2 s左右，系統回到滑模面附近，2 s之后，系統能夠穩定的維持滑模運動，穩定精度為2.711×10-15.綜合仿真結果可以看出，文中設計的控制律具有較高穩定控制精度。

為了說明本文設計的控制律的有效性，與采用極點配置法以及LQR控制法進行對比[6，20]，控制器參數為：極點配置，K=[-14.985 0，-16.554 9，54，12，LQR控制，

K=[-12.247 4，-12.692 5，45.512 8，9.799 3]。仿真結果如圖9～圖12所示。從圖9可以看出，采用極點配置法與LQR控制，均能過使系統穩定到給定的位置，系統穩定精度為：

1.895 7×10-4.雖然系統的穩定時間較短，控制精度較高。但是，從圖10看出，電機轉角角度范圍為[-6，3]，從圖11看出，電機轉角角速度范圍為[-25，15]，從圖12看出，電機轉角角加速度范圍為[-6，2]。跟文中設計的控制下相比，采用極點配置法與LQR控制，電機的轉角、角速度、角加速度均大大的高于文中設計的控制律的參數范圍，對電機的性能要求較大。因此，通過對比，文中設計的控制律控制精度高，電機的轉角、角速度、角加速度變化范圍小，對電機的性能要求低。

4?結?語

研究了基于滑模控制理論的視覺板球控制問題。根據板球系統的物理模型，推導了系統的動力學模型，在小角度假設下，對建立的動力學模型進行線性化，建立了系統的狀態空間模型。針對建立的狀態空間模型，通過設計線性滑模面和新型非線性滑模趨近律，設計了基于滑模控制的視覺板球控制方案，并基于Lyapunov穩定性理論，對設計的控制律進行了穩定性證明。同時，將設計的控制律代入建立的狀態空間模型進行仿真驗證，仿真結果驗證了文中設計方法的有效性。為了進一步說明文中設計方法的有效性，將本文設計方法與現有控制方法進行對比仿真，通過對電機轉角、電機轉角角速度、電機轉角角加速度等參數的對比可以看出，文中設計的控制律不僅具有較高的位置控制精度，而且需要的電機轉角較小，便于工程實現。

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（責任編輯：張?江）