由“333667”引起的關于規律和方法的思考

張緒續

【摘要】：文章由等式及等式的因子引入，從算數基本定理進行分析，梳理出333667和10101以及一些固定位數循環數之間的關系，并總結成公式，得出結論。

【關鍵詞】：規律 方法 思考

一、問題引入

我們首先來看一組有趣的等式

528528528=2^4*3^2*11*333667

194194194=2*3*97*333667

552552552=2^3*3^2*23*333667

666666666=2*3^3*37*333667

不難發現，這些由循環數字組成的九位數都有一個共同的因子“333667”，而且這個因子的存在與循環節中的數字是否重復無關，這就引起了我探索緣由和同類拓展的興趣。

二、問題分析

其實上述四個式子只是任意的舉例，其一般形式可以表述為：任意一個三位數循環三次組成一個九位數，將其分解質因數，一定存在一個質因數是“333667”。（稱之為假設1）首先從原理角度看，此式的實現有賴于算數基本定理，即任何一個大于1的自然數N，如果N不為質數，都可以唯一分解成有限個質數的乘積N=P1a1 P2a2…Pnan，這里P1<P2…<Pn均為質數，其中指數ai是正整數。由算數基本定理，我們可以確定上述等式的合理性與唯一性，但仍缺乏推廣到一般情況（即證明假設1成立）的條件。單從這個問題看，找到證明它的方法似乎很困難，所以我們先來分析一個簡化版的問題，以期找到假設1的解決辦法。

我們仍然從一些例子入手

37373737=37*73*101*137

55555555=5*11*73*101*137

70707070=2*5*7*73*101*137

這是一個兩位數構成的循環節循環四次的問題，在這里我們可以明顯的發現，每個數都有“73”“101”“137”這三個相同的因子，這與“333667”的發現本質上是相同的。但之所以稱它為簡化版，是因為這些數除了相同的三個質因子之外，剩余的質因子的乘積就是循環節本身！我們自然地想到，“73*101*137”就等于原數字除以循環節，也就是“1010101”。正是由于這個數字的存在，解釋了上式的規律性結果：兩位數為循環節，決定了基本單位是10;循環四次，決定了由4個1組成。由此增加循環次數，以“101010101”為基準，也可以構建上述等式，只不過會被41*271*9091這樣看似繁雜的質因數“掩蓋”起來。

在經歷了這個簡化版問題的分析后，我們的思路變得明朗起來。既然可以增加循環的次數，那么可不可以改變循環節呢？這樣是不是就能找到解決假設1的辦法了呢？既然是三位數的三次循環，我們就可以自然的想到基準數“1001001”，我們驚奇的發現它就是“333667”的3倍。這就使這個問題的結論和困擾我們的原因浮現了出來：我們忽略了三位數三次循環的另一個公共質因數3，而過多的被“333667”這樣一個奇怪的質數吸引了注意;又由于三位數的可分解性比兩位數強很多，所以我們并不能顯然的觀察出前面質因數的乘積就是循環節本身，而這樣通過528*1001001=528528528就可以將問題顯然的表示出來了。

于是我們發現，分解質因數原來只是一種更細化的形式，甚至還在一定程度上影響了結論的清晰性，像“333667”這樣大的質數，其實就是“1001001”這樣可以構成規律性循環的數的一個因子。

三、得出結論

任意一個n位數循環m次組成一個（m*n）位數，都可以分解成這個n位數與100…100…1（即為一個n位的100…循環（m-1）次再在末尾增添一位1的（nm-n+1）位數）的乘積。

這個結論的證明由乘法的規律十分顯然，困難之處在于發現結論找到原因的過程。

四、總結與反思

在證明假設1的過程中，由于“333667”這一質數實在過于顯眼，我于是嘗試了很多數論和代數方法，想要證明或是將其與循環數聯系起來，但努力未果。事實證明，最后的結論也實在與質數的性質無關，就像第二部分問題分析中強調的那樣。我們完全可以像第三部分中的結論那樣直接地看待這個問題，但由分解質因數的角度切入，既將問題延伸了一個維度，又拓寬了思維的空間與方式，還為規律的進一步探索提供了可能，甚至我所采用的數論方法也能起到一個很好的方法指導和能力提升作用。這就讓我想到，解決數學問題應該多一些深入全面的思考，而不是以做題為目的和唯答案論，一些有益的嘗試并不是無用功，而是由量變到質變的積累。

另外我從中還獲得了一種解決問題的辦法，如同我分析問題過程中提到的先尋找簡化版問題的規律一樣。學會由簡單問題切入，用同樣的方法進行類比推測，來發掘復雜問題的隱含信息，就像三位數三次循環共有的質因子3。如果我們有著強大的觀察能力，發現兩個共同質因子“3”和“333667”并計算它們的乘積是“1001001”，再通過聯想推理得到一般的規律也未嘗不可，但這樣的觀察就不如由簡到難來得順暢和顯然。

主要成績：2017年鄂爾多斯市三好學生、2018年鄂爾多斯市第一中學優秀團員、2018年度鄂爾多斯市優秀團員、業余鋼琴十級

主要愛好：讀書思考、體育運動、演講誦讀、探索研究