化“周”于形，積“長”為數

汪杰

【摘要】本文緊緊圍繞周長概念核心要素“一周”與“長度積分”，分別從概念的引入、形成、應用三個階段，運用不同的教學策略，促使經驗從激活到積累，積累到重組，最終形成穩固的知識網絡體系。

【關鍵詞】心理表征 教學策略 經驗

小學階段“周長”概念教學于三年級，它具有多個核心要素，是一個“值”更是一個“過程”。到六年級圓的周長學習后，周長與面積概念在相互依存、相互區分的過程中，終于形成各自穩固的知識結構。在這一比較長的概念學習期，筆者通過精選“原型”，夯實“過程”，多重“比較”等活動來豐富心理表征，累積活動經驗，從而達到概念自動化的理解——化“周”于形，積“長”為數。

一、概念引入階段——精選“原型”，激活經驗，夯實概念表象

所謂“原型”就是某一類別的最佳正例，這個正例的關鍵特征越明顯、越具有代表性，學生形成與概念對應的心智圖像就越清晰、越準確。在概念的引入階段，尋求生活中學生有著豐富經驗的素材以及需要求出周長的情景顯得尤為重要，而繞著操場跑一周，接著求出一周有多長無疑是絕佳正例。

1.從“一圈”抽象到“一周”

師：小胖要減肥，爸爸制定了一個鍛煉計劃，讓他每天圍著操場跑一圈，我們去看看他是怎么跑的（見圖1、圖2）。

在教學中，通過動畫演示，激發和調用學生“跑一圈”的生活經驗，讓他們初步感知“邊線”“封閉（起點出發回到起點）”，由此激活的生活經驗在后續的復雜圖形“一周”邊線的辨別時，“跑”自然成了形象而有效的手段。

2.累加長度，明晰操場的周長

師：這個操場的一周到底有多長呢？

（課件依次呈現數據：直道90米—彎道110米—直道90米—彎道110米）

生：可以這樣算：90+110+90+110=400米。

師：400米表示哪里的長度？

生：操場一周的長度。

師：對，400米是操場一周的長度，也可以說操場的周長是400米。今天我們就來學習周長。

正確跑出一周后，教師緊接著提出“操場一周有多長”的度量問題，通過數據連加得到操場一周長度并揭示“周長”概念，幫助學生即時形成“周長是一周的長度”這一正例表象。

二、概念形成階段——夯實“過程”，積累經驗，理解概念本質

“過程策略”表明教學不只是簡單的概念的“定義”學習，而是首先讓學生經歷“定義化”的過程，同時積累操作活動的一般程序經驗，滲透一定思想方法，最后實現過程知識與結果定義之間的融會貫通。

1.辨析一周，物化為“形”

學生描畫一周后，呈現交通標志中間線涂色作品（見圖3），予以辨析。

生1：不對，這條線是在中間的，不屬于它的一周。

生2：一周是最外面的邊線，這條不算。

師：想象一下，這個交通標志只留下一周的邊線會是什么圖形？

生：圓形。

教師演示，從實物中剝離出圓形;同理操作剝離出三角形（見圖4）。

在周長概念教學中，先通過三角板和交通標志實物的描畫一周，在辨析中強化“一周”的概念，接著組織學生想象并實物剝離演示，幫助學生從實物到抽象的平面圖形，增進理解“一周”。

2.測量長度，累加為“數”

（1）指名學生上臺測量三角形的周長，教師隨機板書測量三邊長度：12厘米、15厘米、12厘米。列式得到12+15+12=39厘米。

師：39厘米指的是什么呢？

生：三角板的一周長度。

（2）測量圓形的周長。師生討論達成共識“需要借助軟軟的尺子測量”后，教師演示：把線繞圓一周然后緩慢打開，拉成一條線段。組織學生測量這條線段，測得長度為52厘米。

師：這52厘米表示的是什么？

生：交通標志圖的一周長度。

“長度是量出來的”“周長是一周邊線長度的累加”——在三角形周長度量測算中，學生首先經歷的是測量，三邊長度累加計算等系列過程，由此學生經歷了三角形周長本質的由來;同理，在圓的周長測量活動中，教師有效滲透了化曲為直的方法，體會到圓的一周邊線長度等同于一條線段的長度。

3.回顧過程，概括概念

師：同學們，剛才我們通過研究，得到400米、39厘米、52厘米，那這些數表示的都是什么呢？

生：400米是操場一周的長度，39厘米是……

師：回顧一下，這些一周的長度我們是怎樣得到的呢？（課件先抽象出一周，再呈現數據和算式）

生：量出來的。

師：量所有的線？

生1：不是，先找到一周，例如三角形就只需要量一周的三條線。

生2：量好后，還要把幾條線段的長度加起來。

回顧操場、三角形、圓形一周長度的研究過程，過渡到“圖形一周都有固定的長度”，抽象到圖形的周長。教師組織學生回顧過程，最后用生動簡練的語言歸納為“先跑一周，再測量求和”。

4.辨析反例，精準概念

課件依次呈現矩形、三角形、圓形、角等圖形，組織辨析以上有無周長后，教師板書周長完整概念。

師：現在你覺得“周長”的“周”指的是什么？“長”呢？

生1：周指的是一周，長指的是長度。

生2：連起來就是“一周的長度”。

生3：像三角形這樣的一周有好幾條邊的，那就可以說成“一周的長度加起來”。

概念的精準便于學生記憶與提取，對周長概念的再加工，能夠讓學生望文生義，在以后遇見時能一次次主動觸發已有的經驗。

三、概念應用階段——多重“比較”，重組經驗，聯結概念網絡

比較是一種思維的過程，也是一種教學的策略。通過相似、相近數學材料的比較、分析，配合動作、語言、圖像、符號等多重表征，可以消除概念間的互相混淆，從而有效把握數學定義的本質。

1.（三年級上冊周長概念學習第一課時）比較練習

A.誰測量的是周長呢？

（1）量身高

（2）量腰圍

B.這兩個圖形周長一樣嗎（見圖5）？（動態演示圖形組合）

A組習題學生通過實際的測量活動，發現雖然量的都是長度，但身高實質是一條線段的長度，而腰圍是一周曲線的長度，進一步突顯“封閉”“一周邊線”的概念核心要素。B組習題引導學生再一次經歷求周長的活動，初步感知大小并不是決定周長長短的關鍵因素，使其更深刻地認識周長的本質“一周邊線的長度總和”，凸顯了先確定一周的“形”，才能進行計算求出長度總和的“數”。

2.（三年級下冊正方形面積公式學完后）求正方形的周長和面積

生：周長4×4=16分米? 面積4×4=16平方分米

師：怎么算式都是4×4=16？他們的意思一樣嗎？能用圖表示你的想法嗎？

教師在師生的交流修正中依次呈現圖6，并組織學生用語言表達想法：周長是4條長4分米的線段累加成為16分米的線段;用面積為1平方分米的單位擺，一行可以擺4個，一共4行，所以面積是4×4=16平方分米。

師：那如果邊長是a呢？

生：周長就是4個a累加成的一條線段的長度;面積就是一行擺a個，可以擺a行，一共a×a個。

通過同一圖形周長與面積算式比較，教師首先讓學生自主地用圖表征算式，這個過程需要提取原有周長概念圖像，是對概念一次修正和完善的過程;其次圖與圖之間的比較，借助數形結合，經歷一維的長度累加與二維的面積累加過程，兩種概念間的差異性因比較而深刻;最后運用語言及符號表征，回顧周長與面積獲得的過程，以及運用現有的心理表征對公式再識別。

同理，在探究圖形面積公式時，關于周長的知識也需要不斷“點擊”。例如，學習平行四邊形的面積時，可讓學生大膽猜測，呈現“鄰邊之和乘2”的錯例，通過拉動平行四邊形學具，讓學生體驗平行四邊形周長不變而面積在變。

3.（六年級上冊圓的認識單元復習時）求出圖7陰影部分的面積和周長

生1：用割補法后就變成了一個半圓，面積是3.14×52÷2=39.25㎝2（媒體動態呈現割補最后留下半圓）。

生2：周長是3.14×10÷2+10=25.7㎝

生3：不對，你算的是半圓的周長，圖7周長明顯比半圓長。

師：有不同想法了，誰對誰錯呢？怎么驗證？

生4：先跑一周，再一段一段比就可以了。（學生比畫，達成共識）

師：那它的周長該怎么計算呢？

生5：大圓周長的一半加上兩個小圓周長的一半。

生6：兩個小圓周長的一半就是一個小圓的周長，再加大圓周長的一半。

生7：這3條圓弧的長度和，就是一個大圓的周長。（學生鼓掌）

師：做了這題，你現在有什么新的收獲呢？

生8：把面進行“割”與“補”，其圖形變了面積不變。

生9：如果圖形的周長不變的話，只能割補它的一周邊線。

在周長概念的應用過程中，教師調動了學生對周長概念的心理表征，去比較、去辨別等積變形后周長是否發生了改變，這樣的活動能大大降低思維定式帶來的副作用，同時還讓學生對已有的知識和經驗進行了必要的超越。例如，累加邊線長度的經驗，以往的累加更多的是一種計算求和，而現在改造為邊線累加成新的圖形的邊線，大大提升了思維含量，更有助于學生抽象及空間想象能力的提升。

【參考文獻】

[1]鄭毓信.多元表征理論與概念教學（續）[J].中學數學教學參考：上半月高中，2011（6）.

[2]陸曉林.促進學生建構數學概念策略談[J].教育研究與評論（小學教育教學），2010（4）.