基于一維非穩態熱傳遞模型的高溫作業專用服飾
2019-09-10 20:27:47蔣鈺玲魏思婕李昂
企業科技與發展 2019年6期
蔣鈺玲 魏思婕 李昂
【摘 要】文章基于傳熱學原理，利用一維非穩態熱傳遞過程模型，對熱防護服的初始條件和邊界條件進行討論，通過偏微分方程得到溫度的分布關系;利用變步長搜索法遍歷II層厚度值，得到最優厚度值;最后遍歷出若干組滿足約束條件的Ⅱ層、Ⅳ層厚度值，通過綜合評價求解出最優的Ⅱ層、Ⅳ層厚度。
【關鍵詞】導熱微分方程;有限差分法;多目標優化;變步長搜索
【中圖分類號】TS941.73;O241.82【文獻標識碼】A【文章編號】1674-0688（2019）06-0103-02
1 問題背景
為了更快地設計出可以在高溫環境下使用的專業服飾，根據2018年高教杯全國大學生數學建模競賽A題建立模型，分析并解決以下問題。
?（1）在環境溫度為75 ℃、Ⅱ層厚度為6 mm、Ⅳ層厚度為5 mm、工作時間為90 min的情況下計算假人皮膚外側溫度。
?（2）在環境溫度為65 ℃、Ⅳ層厚度為5.5 mm時，確定Ⅱ層的最優厚度，以確保工作60 min時，假人皮膚外側溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時間不超過5 min。
?（3）當環境溫度為80 ℃時，求Ⅱ層和Ⅳ層的最優厚度，以確保工作30 min時，假人皮膚外側溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時間不超過5 min。
2 問題分析
問題一：這是關于非穩態傳熱過程的數學模型問題。利用傳熱學中的理論計算出熱量和溫度間的關系，再根據Fourier定律，得到熱傳導的偏微分方程解答。
問題二：本質為優化問題中的目標規劃問題，利用“問題一”中的非穩態熱傳遞微分方程組，以及有限差分法和變步長搜索法來反求參數。
問題三：本質是一個求解優化問題中的多目標規劃問題，可以在滿足約束條件的情況下，遍歷Ⅳ層的厚度，將該問題轉化為“問題二”求解，并引入功能值，用該值的大小來統一量化目標函數，計算最優厚度。
3 模型的建立和求解
3.1 問題一
3.1.1 熱傳導模型
熱量從防熱服外向內傳導的過程為非穩態導熱過程，遵循Fourier定律，可用熱流密度表示，如式（1）：
q=-β （1）
其中，q表示熱流密度;β表示熱傳導率;？鄣T/？鄣x表示物體溫度沿x軸方向的變化率。
熱量傳導的過程滿足能量守恒定律，根據傅里葉定律可得到微分方程，如式（2）：
ci ρi = βi Li-1≤x
其中，ci 表示比熱（i=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ）;ρi表示單位體積的質量密度;βi表示熱傳導。
3.1.2 邊界條件的計算
在防護服的外表面，利用能量守恒定律，可以得到織物表面的熱傳導公式（3）：
q傳導=q對流+q輻射 （3）
熱對流的熱流密度q對流可以用牛頓冷卻公式得到：
q對流=h（T|x=0-T∞）（4）
其中，h表示對流換熱系數，根據Rapp的分析結果，h=4 W/（m2·K）;T|x=0表示防護服外表面的溫度;T∞表示高溫環境的溫度。
熱輻射的熱流密度：
q輻射=εσ（T4|x=0-T∞4） （5）
其中，ε表示紡織品表面的熱輻射率，經dunkle測量，ε=0.9;σ表示Stefan-Boltzmann常量，即黑體輻射常數，σ=5.67×10-8 W/（m2·K4）。
將式（1）、（4）、（5）代入式（3）中，得到防護服外表面的左邊界函數如下：
-βI =h（T|x=0-T∞）+εI σ（T4|x=0-T∞4）
由于在右邊界Ⅳ層與皮膚之間既有熱傳導又有熱輻射，所以其邊界條件可用公式（1）、（3）、（5）得到：
-β0 =εⅣ σ（T4|x= ?-T∞4）
其中，β0=-β假體-βⅣ表示假體的熱輻射率，εⅣ=0.9;T|x= ?表示假人皮膚外側的溫度，單位為K;T∞表示假人內部溫度，T∞=272.15+37=309.13 K。
假設初始的熱防護服的整體溫度為37 ℃，即T0（x）=37 ℃。
最后求解，得到假體熱傳導率數值為0.085 1 W/（m·℃），溫度分布情況如圖1所示。
3.2 問題二
該目標規劃問題的目標函數為min（δⅡ），其約束條件如下：
T|t=3 ?300≤44 ℃T|t=3 ?600≤47 ℃Ts=65 ℃0.6 mm≤δⅡ≤2.5 mm
利用變步長搜索法，最后計算得到第二層的最優厚度為10.8 mm。
3.3 問題三
先將Ⅳ層邊緣的厚度（即0.6 mm和6.4 mm）作為定值代入。用問題二的方法求出滿足約束條件的最優的Ⅱ層厚度。其計算結果見表1。
取第Ⅱ層的厚度作為范圍遍歷，步長定為0.1 mm，求解Ⅳ層的厚度，并選取厚度、重量、防護性能為評價指標選出最優厚度。通過TOPSIS方法對評價結果的數值進行處理，得到的評價方程：
λ=0.351 363δZ+0.323 094m+0.325 543E
其中，λ為評價得分;δZ為厚度;m為重量;E為瞬時導熱率。
最后，得到的最優結果為Ⅱ層厚度為19.9 mm、Ⅳ層厚度為4.6 mm。
4 模型的評價與推廣
充分利用相關數據，結合傳熱學原理，建立符合實際的模型。由于時間限制，沒有更進一步探討精度問題，結果可能會有一定偏差。
將此模型推廣到實際生活中，可以設計出更加輕便的高溫作業專用服裝，提高高溫作業的工作效率和舒適程度，同時還可以推廣到低溫作業環境，或者其他對溫度要求較高的環境。
參 考 文 獻
[1]徐定華，葛美寶，陳瑞林.基于服裝舒適性的紡織材料設計反問題[J].應用數學與計算數學學報，2012，26
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[3]徐建良，湯炳書.一維熱傳導方程的數值解[J].淮陰師范學院學報（自然科學版），2004（3）：210-214.
[責任編輯：陳澤琦]
