探求解決組合問題的一般策略

劉玲玲

摘 要：排列組合問題都是高考重點考查的內容，每次考試都會有題目出現，而針對于這類問題，由于題干條件比較復雜，很多學生覺得無從下手，但其實這類問題當中，我們通過題干分析，可以找到明確的關鍵詞，從而使用特定的方法，去快速解決這一類問題。筆者試著從解決組合問題的一般策略入手，運用直接法、間接法、分類法、分步法等以實例來說明問題。

關鍵詞：組合；直接法；間接法；分步法

排列組合問題求解的關鍵是靈活運用兩個基本原理和公式，抓住問題的本質特征，采用適當的策略和方法，選用恰當技巧即可解決問題。學習和總結求解此類問題的解法原則，掌握它的規律，對培養學生的邏輯思維能力，具有重要的作用。下面我就一些試題為例作一分析說明，相信對大家會有很大的幫助。

一、直接法

分析問題時，我們從題目所要求的問題出發，利用組合定義及公式進行直接的進行處理，從而得到結果，這種處理問題的方法稱為直接法。

例1一個口袋內裝有大小不同的7個白球和1個黑球，從口袋內任意取出3個球，共有多少種不同的取法？

解析：由題意知是組合問題（因為取出的3個球沒有順序），由組合的定義及組合數公式，可以直接求得不同的取法為 （種）。

二、間接法

在分析問題時，根據題意，從正面下手不太容易或不能處理時，我們利用“正難則反”的思想，從反面考慮得到結果，這種處理問題的方法稱為間接法。

例2想從4名男生和6名女生中，任意的抽取3人去參加社會實踐活動，問至少有1個男生參加的抽取方法共有多少種？

解析：若直接考慮，“至少有1個男生”可以分成三種情形：3男，2男1女，1男2女，若從反面考慮，只需考慮都為女生的 種，所以用間接法得：至少有1個男生參加的抽取方法共有 （種）。

三、分類法

在考慮問題時，按照分類討論的思想或分類計數原理，對所研究問題依據一定的（較簡單的）標準進行恰當的分類，最后把所得結果相加即得所求，這種處理問題的方法稱為分類法.在應用分類法時，必須注意分類要做到不重不漏，分類標準一旦確定就不能改變，不然就可能導致錯誤的結果。

例3 一個集合中有5個元素，問該集合的非空真子集一共有多少個？

解析：根據題意，按照非空真子集中元素個數的多少，可以分為4類：含1個元素、含2個元素、含3個元素、含4個元素，由分類計數原理得，該集合的非空真子集一共有 （個）.

四、分步法

在分析問題時，根據題意要完成工作，可以依據分步計數原理來處理，這種處理組合問題的方法稱為分步法.

例46本不同的書分給甲、乙、丙3同學，每人各得2本，有多少種不同的分法？

解析：3個人一本一本的來取，甲從6本不同的書中任取2本有 種方法，甲不論用哪一種方法來取，乙從剩下4本書中任取2本有 種方法，而甲乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的2本書中任取2本有 種方法，所以由分步計數原理一共有 （種）分法。

五、分類分步綜合法

在處理問題時，由于問題比較復雜，我們可以根據試題條件，從整體上考慮分類，局部上考慮分步處理，也就是所謂的先分類后分步，即分類分步綜合法。

例5 現有8名青年，其中有4名能勝任英語翻譯工作，有3名青年能勝任德語翻譯工作，有1名青年兩項工作都能勝任，現在要從中挑選5名青年承擔一項任務，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？

解析：從總體上考慮，先分類，以兩項工作都能勝任的青年從事的工作為標準，可以分為三類：

① 讓兩項工作都能擔任的青年從事英語翻譯工作，有 ；

② 讓兩項工作都能擔任的青年從事德語翻譯工作，有 ；

③ 讓兩項工作都能擔任的青年不從事任何工作，有 .

∴一共有 + + =42（種）不同的選法。

六、插空法

在處理某些元素不相鄰問題時，可以先考慮其它元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為插空法.

例5馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有多少種不同的關燈方法？

解析：本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數為 種方法.

七、隔板法

我們經常所遇到的組合問題都是針對不同的元素，在一些組合問題中，由于題目本身的特殊性（元素都相同），用其它方法很難完成，我們可以考慮隔板法，即把要分配的相同的物體排成一排，在再這些物體之間的空位中插上隔板，從而完成工作，這種方法稱為隔板法.使用隔板法所應滿足的條件：所有元素必須相同，所有元素必須分完，每組至少有一個元素。

例7 某校高二年紀7個班，現要從中選出10人參加全國數學聯賽，問每班至少1人的選法用多少種？

解析：等價于把10個人（名額）排成一排，則10個人（名額）之間構成了9個空位，在9個空位中選取6個，在選取的每個空位上插上一塊代表班級的隔板，就把10個名額分給了7個班，∴一共有 種選法。

八、整體考慮法

例8 某城市有5條南北走向的街道，4條東西走向的街道，如果從城市的一端A走向另一端B（如圖），問最短路徑有多少條？

解析：對于本題，如果要局部考慮就非常的困難，我們轉換思路，利用整體考慮法，從總體上來考慮：首先把相鄰兩個路口之間的距離看成一步，由題意，從A到B最短走法是東西走4步，南北走3步，一共是7步，其中四步向東，三步向南，不同走法的區別在于哪3步向難（或哪4步向東），所以不同的最短路徑有 條（ ）.

參考文獻：

[1]于水青.排列組合問題的求解方法與技巧[J].山西師范大學學報（自然科學版），2014，12：15-17.

[2]周賽霞.排列組合問題常用解題方法與技巧[J].中學生數理化（高考版），2008，7：23-25.