數字信號處理中窗函數的分析與應用

盛旭然 向前

摘要：數字信號處理技術在當今信息技術高速發展的情況下得到了廣泛的應用和發展，在通信領域、工業領域、電子信息領域以及圖像處理領域等發揮著重要作用.其中時頻變換分析在數字信號處理中的應用非常重要，為了保證信號的完整性，往往在時頻變換時需要引入窗函數.對此，文章對數字信號處理中的窗函數問題進行了簡要地探討和研究，對常見窗函數的性能做了分析和對比，使我們可以更好地利用窗函數進行信息處理.

關鍵詞：數字信號;處理技術;時頻變換;頻譜泄露;窗函數

中圖分類號：TN911.72 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1673-260X（2019）05-0074-03

1 引言

我們在數字信號處理時，一般需要限制數字信號的觀察時間，即需要選擇一段時間的數字信號作為樣本，并對其進行分析，得到數字信號處理結果.在數字信號處理過程中，我們所采用的有限個點的數據樣本取得過程就是一個將數字信號數據截斷的過程，其結果等效于對信號進行加窗函數操作，但相較于加窗函數操作會導致的頻譜泄露，數字信號數據截斷效果更佳.根據實驗可知，加窗函數操作的數據樣本中完整的頻率數量越多，越容易得到信噪比好的頻譜信號.除此之外，采樣點數量的增多也會導致后續進行傅里葉變換的運算量增大，降低運算效率.結合實際分析，合適的窗函數能有效地降低頻譜泄露等問題.

2 加窗原理分析

根據奈奎斯特采樣定律可知，在數字信號轉換過程中，當采樣信號頻率大于樣本中信號最高頻率的兩倍時，采樣后的數字信號完整保留了原始信號信息.當采樣頻率高于信號最高頻率的兩倍時稱之為過采樣.通常在實際應用中，采樣頻率至少是5～10倍[1].過采樣的同時還需要盡可能保證得到更多個周期的成分，這就加大了運算量，所以不能取無限長的數據點.

傅里葉變換是數字信號處理的主要數學工具，是用來研究時間域和頻率域之間關系的重要工具.在用計算機實現信號處理領域中，對無限長的信號進行測量和運算是不現實的，取其有限的時間序列是常見分析方法，截取有限時間序列的過程叫作信號截斷.信號截斷分為周期截斷和非周期截斷.若截斷后的信號為周期信號則為周期截斷，若截斷后的信號不再是周期信號則為非周期截斷，絕大部分截斷為非周期截斷.以一個正弦波為例，如圖1所示，然后經過信號截斷處理的片段進行周期延拓處理，可以得到一段虛擬的、無限長的信號，針對這段虛擬信號可以進行傅里葉變換等分析處理.

周期延拓的時候會出現一個問題，如果原始信號是一個周期信號，我們得到的頻譜應該是一個固定頻率的點，但非周期截斷后，信號不再是一個周期信號，引入了不可預測的其他頻率成分，頻譜在整個頻帶內產生了拖尾現象，頻譜發生了畸變，之前集中在一個頻率的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，也就是我們所說的頻率泄漏，是數字信號處理過程中非常常見的誤差.如圖2所示.

為了減少頻譜能量泄漏，信號截取處理過程中應用不同的截取函數對信號進行截斷處理，將此過程中使用的截斷函數稱為窗函數，簡稱為窗，例如：矩形窗、平頂窗、漢寧窗、指數窗等.加窗的實質是窗函數與原始的時域信號相乘的過程，使相乘得到的信號更好地滿足傅里葉變換的周期性要求[2]，如圖3所示.

窗函數對信號頻譜的影響較大，不同的窗函數產生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣;信號的截斷時必將產生能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產生了柵欄效應，從原理上講這兩種誤差都是不可消除的，但是可以被不同的窗函數進行抑制.不同的時間窗，它的時域形狀和頻域特征是不相同的.

3 常見窗的分析

在時頻變換中有很多的窗函數可供我們選擇，例如矩形（Rectangle）窗、漢寧（hanning）窗、海明（hamming）窗、平頂（Flap Top）窗、凱塞（Kaiser）窗、高斯（Gaussian）窗等，我們在此分析最常見的矩形窗、漢寧窗、漢寧窗和平頂窗的性能特點，以及應用.借助matlab自帶的窗函數可視化工具wvtool（WindowVector），方便分析幅頻特性和時域特性.

4 窗函數的選擇與應用

單從窗的頻譜他特性上看窗的波形圖顯示了窗本身為一個連續的頻譜，有一個主瓣，若干旁瓣.旁瓣的高度顯示了加窗函數對于主瓣周圍頻率的影響.對強正弦信號的旁瓣響應可能會超過對較近的弱正弦信號主瓣響應.通常低旁瓣會減少傅里葉變換的頻譜泄漏，但是會增加主瓣的帶寬.旁瓣的跌落速率是旁瓣峰值的漸進衰減速率.增加旁瓣的跌落速率，也可減少頻譜泄漏.所以窗函數頻譜的主瓣越窄越好，即能量盡可能集中在主瓣內，以提高譜估計時的頻域分辨率和減小泄漏[4].

選擇加窗函數并非易事.每種加窗函數都有其特征和適用范圍.要選擇加窗函數，必須先估計信號的頻率成分.

如果信號中干擾頻率分量較強，與感興趣頻率分量相距較遠，那么就應選擇具有高旁瓣下降率的平滑窗.如果強干擾頻率分量與感興趣分量相距較近，那么就應選擇具有低最大旁瓣的窗.如果感興趣頻率包含兩種或多種很距離很近的信號，這時我們最好選用具有窄主瓣的平滑窗.如果一個頻率成分的幅值精度比信號成分在某個頻率區間內的位置更重要，選擇主瓣能量集中的窗，如平頂窗.如信號頻譜較平或頻率成分較寬可以不使用窗[5].

5 總結

窗函數在信號處理中有著非常重要的地位，它保證了信息的完整性和準確性，選擇適當的窗函數就顯得尤為重要.文章通過對具體窗函數的分析比較，說明了窗函數在實際信號處理中的實現，在對不同窗函數進行比較的過程中總結窗函數如何選擇與應用.現代工程中加窗的應用已經十分成熟，但隨著技術的進步和需求的改變，會出現更多針對具體應用場景的窗函數.

參考文獻：

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〔4〕楊麗娟，張白樺，葉旭楨.快速傅里葉變換FFT及其應用[J].光電工程，2004，31（b12）：1-3.

〔5〕尤會恩，劉建軍，張文.數字信號處理中窗函數類型及選擇原則[C]//全國敏感元件與傳感器學術會議，2005.

〔6〕鄭星亮，程潔，魏任之.數字信號處理中的窗效應及窗函數的應用原則[J].北京聯合大學學報，1997（2）：34-37.

〔7〕類淑趁，耿麥香，許建賓.論數字信號處理中加窗的影響及窗函數的選擇原則[J].山西礦業學院學報，1995（4）：347-350.