雙曲線及其標準方程的研究的教學設計

張學斌

摘 要：在橢圓的學習中，學生已經熟練的掌握了橢圓的定義及橢圓標準方程的推導，在學習雙曲線時，把重點轉移到了如何發現雙曲線定義，如何對雙曲線標準方程進行深入探究，從而培養學生使用類比法，歸納猜想證明等方法研究問題的能力。

關鍵詞：雙曲線 橢圓 標準方程 發現 定義

隨著課改的深入進行，我們越來越關注課堂上教師如何教，學生如何學的研究和實踐。下面我們以高中數學“雙曲線及其標準方程的研究”為例，談談我是如何在課堂上努力突教師的主導性和學生主體性的。

一、指導思想與理論依據

1.新課程倡導積極主動、勇于探索的學習方式。

2.新課程注重提高學生的數學思維能力。

3.數學課程強調本質，注意適度形式化。

二、數學背景分析

1.教材分析——雙曲線及其方程是在直線方程、圓的方程、橢圓學習之后的又一個圓錐曲線，這是中學解析幾何的重要內容之一。

2.學情分析——在橢圓的學習中，學生已經熟練掌握了橢圓的定義以及橢圓標準方程的推導。所以在學習雙曲線時，可以把重點轉移到如何發現雙曲線定義、如何對雙曲線標準方程進行深入探究，從而培養學生使用類比法、歸納猜想證明等方法研究問題的能力。

三、教學目標分析

1.知識與技能——讓學生從發展和發現的角度來理解雙曲線及其標準方程，在研究問題過程中培養學生使用類比法、觀察歸納猜想證明、轉化等具體數學方法，通過雙曲線及其標準方程的研究使學生進一步掌握研究解析幾何問題的技能方法。

2.過程及方法——通過直線、圓、橢圓的定義歸納及雙曲線標準方程的推導培養學生發現規律、認識規律并驗證規律的能力，使學生經歷知識產生和形成的過程，不僅注意這一研究結果的掌握和應用，更重視研究方法的思想滲透和分析問題解決問題的能力培養。

3.情感態度與價值觀——通過學生動手動腦，體驗知識的形成過程，使學生獲得成功的體驗，增強學生的信心，培養學生探索創造的意識和方法能力。

四、教學過程的設計

1.創設問題情境，激活原有的認知結構

①回顧已經學習過的曲線，可以看成是由滿足什么條件的點所形成的軌跡。

直線可以看成是到兩個定點的距離相等的點的軌跡，圓可以看成是到一個定點的距離等于一個常數的點的軌跡，橢圓可以看成是到兩個定點距離之和等于常數的點的軌跡。通過回顧，可以發現上面這三種曲線都使用了“點到點的距離”這個概念（為了說明問題簡單，我們把“點到點的距離”簡稱為“點點距”）。點點距等于常數這個條件對應的曲線是圓，點點距減點點距等于零對應的曲線是直線，點點距加點點距等于常數所對應的曲線是橢圓。

②引導學生思考如何改變上述條件，從而得到新的曲線。

我們鼓勵學生分析猜想：前面這些都涉及到點點距的運算，點點距的運算除了加、減還有什么呢？還有乘、除。自然而然，學生們聯想到：點點距減點點距等于常數，點點距乘以點點距等于常數，點點距除以點點距等于常數，當然還有其他的一些條件。

那么這些條件都有它所對應的曲線，我們選擇哪一個條件來進行研究呢？由加法和減法是同級運算，因而首先選擇“點點距減點點距等于常數”這個條件下手。從而明確課題：研究滿足“點點距減點點距等于常數”所對應的動點的軌跡。

這一部分的設計意圖是啟發學生通過類比、猜想、框圖、運算符號等多種方式創設恰當的問題情境，使學生的思維受到啟發。

2.引導學生探究雙曲線的定義及其標準方程。

由于前面我們已經歸納了加法和減法屬于同級運算，所以這個地方類比橢圓來研究就顯得順其自然。

①我們先回顧橢圓定義。

②引導學生類比橢圓的定義，對滿足“點點距減點點距等于常數”這個條件所對應的動點的軌跡下定義，到哪一個定點的距離作為被減數有兩種選擇，這樣一來我們就可以得到兩個幾何關系式，如何把這兩個幾何關系式統一起來，學生自然聯想到絕對值，這樣一來我們就可以得到新曲線的完整定義。然后通過畫圖讓學生感受新曲線的形狀，通過圖形再給出新曲線的名稱——雙曲線。這個設計意圖是整個過程體現觀察、類比、猜想、聯系四個方法，有意識地訓練學生根據已知的知識給新曲線下定義的能力。它有利于培養學生的抽象、概括、分析、歸納的邏輯思維能力。

③引導學生利用橢圓標準方程的推導過程探究雙曲線的標準方程。在課前我們先讓學生復習一下橢圓標準方程的推導過程，在課上我們就直接使用PPT呈現橢圓標準方程推導過程的五步——第一步建系、第二步設點、第三步呈現幾何條件、第四步代入坐標。第五步化簡。這五步我們可以把它簡稱：“建，設、現、代、化”，學生在橢圓標準化方程推導的過程中只作相應的改動，從而得到雙曲線標準方程的推導過程。這個設計意圖是通過橢圓與雙曲線標準方程推導過程的比較，初步感受橢圓方程和雙曲線方程的聯系和差異，體會類比的作用。

3.反思知識的形成過程，進而再創造。

①比較橢圓與雙曲線方程的推導過程可發現，橢圓和雙曲線是兩個不同的曲線，但我們通過從兩者標準方程的推導過程中來看在什么地方沒有發生改變。這樣一來我們就得到第一個發現——既是橢圓又是雙曲線的方程，我們把它稱為橢圓與雙曲線的方程。這時注意一定要學生歸納一下，橢圓中a大于c，雙曲線中a小于c。這就是我們得到的第一個發現。其設計意圖是使得學生認識這兩個曲線之間的本質與聯系，為后面的發現打下基礎。

②我們要根據發現一作大膽的猜想，橢圓和雙曲線的方程是可以統一的。那么問學生我們可以作出什么樣的大膽猜想呢？學生有可能猜想到橢圓與雙曲線有相同的定義，但是橢圓的定義與雙曲線的定義是不同的。那么這是為什么呢，好，又可以進一步地去猜想雙曲線是有第二定義的，還可以猜想兩者的第二定義也是一樣的。接下來驗證猜想，得到發現二。如果學生思維出現障礙，就可以提示學生橢圓的第二定義是什么樣子，然后從雙曲線的第二條方程的推導過程，我們可以作變形，就可以得到雙曲線的第二定義，這就是我們的第二個發現。

③類比的反作用，作出新猜想并驗證新猜想，從而得到發現三。我們可以看到雙曲線的第二定義是從雙曲線的標準方程推導過程中推導來的，而橢圓的第二定義是我們課本上給出的一道例題，那我們可以作出新的猜想，橢圓的第二定義也可以從橢圓的標準方程的推導過程中推導出來。我們可以對橢圓標準方程的推導過程作變形，從而得到橢圓的第二定義。這樣我們可以得到第三個發現——橢圓的第二定義。

④歸納雙曲線和橢圓的第二定義的共性，驗證猜想二，得到發現四——橢圓和雙曲線都可以看成是到定點的距離與到定直線的距離之比為c/a的動點的軌跡。這樣一來我們就可以得到第四個發現——橢圓與雙曲線統一定義。當然要讓學生清楚橢圓中01。我們可以看到橢圓和雙曲線的第二定義都可以從兩者的標準方程的推導過程中得到。我們還可以對這兩者的標準方程的推導過程進行深人的研究，以得到更多的新發現。

4.小結，可以提高認識問題的高度，促進對知識結構的完整了解。

第一個知識的小結，雙曲線及其標準方程;第二個，雙曲線與橢圓的統一方程和統一定義;第三個，研究問題的基本方法。

下面我們來看這節課研究問題的整個過程，首先從直線，圓、橢圓的定義歸納概括其共性，發觀都是通過“點點距”來形成定義的。然后對所列條件進行縱向拓展，得到一系列條件，從這些條件中選擇一種條件進行研究，即選擇“點點距減點點距等于常數”這個條件來進行研究。我們通過類比橢圓，得到雙曲線及其標準方程，然后反思知識形成過程，使用觀察、猜想、證明等方法得到若干發現，這些發現都可以加深對雙曲線和橢圓的認識，這就是我們這節課的一個流程。

另外我們還可以反過來看看，我們只是選擇了“點點距減點點距”來研究，那么“點點距乘以點點距”，“點點距除以點點距”呢，我們還有研究的空間。另外我們還可以對這一系列條件進行橫向拓展，在解析幾何中除了“點點距”之外還有“點線距”，可以把這一系列的“點點距”都換成”點線距”，這樣 一來我們就可以形成新的課題。

我們前面已經研究過直線，圓、橢圓、雙曲線，接著還可以研兗課題二，類比課題的研究過程和方法來探究到兩條定直線距離滿足某條件的點的軌跡，接著可以類比課題一、二來研究課題三，就是探究到一個定點與到一條定直線距離滿足某條件的點的軌跡。這樣一來我們可以帶著問題走出課堂。

五、學習效果檢測

我們不能像平時的課堂小測驗一樣出幾道題來測驗，剛才我們已經帶著問題走出課堂，我們就拿課題二中的部分成果來看看學生的研究。

學生很聰明，研究問題的時候，先從最初的情況來研究，也就是說如果兩個直線垂直的話，我們就可以把這兩個直線設為x軸和y軸，這樣一來設點、列方程，化簡我們可以得到新的曲線是xy=a這個樣子。然后研究新的曲線所具有的一些性質，它的圖象為兩個雙曲線，可以理解為兩個反比例函數，漸進線是X軸和y軸，曲線關于原點中心對稱。這是兩條定直線相互垂直的時候所得到的性質，對于兩直線不重直的情況，學生也進行了研究，我們在這兒就不進行討論了。

學生探討完了以后，又進行了新的創造，在反思雙曲線標準方程的過程中有如下發現：首先對方程進行變形，變成（bx+ay） （bx-ay）- a2 b2，然后再構造“點線距”，這樣一來我們就可以得到這個式子表示雙曲線上的點到直線bx +ay =0與到直線bx-ay=0的距離之積為a2 b2。雙曲線上的點在（bx +ay）（bx- ay）>0這個區域內。最后歸納提高，得到：“點點距減點點距的絕對值等于常數”;“點點距除以點線距等于常數”;“點線距乘以點線距等于常數”。這三個條件都可以得到雙曲線。

可以看到通過這節課的教與學，學生對數學本質的認識更加深刻，學生研究問題的能力得到了提高，我想這應該是新課程理念下課堂教學所應追求的東西。