財經(jīng)院校數(shù)學(xué)分析的教學(xué)初步探索

王進偉

摘要：數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，本文分析財經(jīng)院校的數(shù)學(xué)學(xué)院的數(shù)學(xué)分析教學(xué)特點，并在分析的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法上的改進做了初步的探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析;分層教學(xué);導(dǎo)數(shù)應(yīng)用;建模

數(shù)學(xué)分析不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，其在理工財經(jīng)類大學(xué)中的地位也是不可取代的。筆者結(jié)合在財經(jīng)類大學(xué)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)實踐就數(shù)學(xué)分析的教與學(xué)的問題談?wù)勛约旱拇譁\的認(rèn)識。

一、數(shù)學(xué)分析教學(xué)現(xiàn)狀

作為財經(jīng)院校的數(shù)學(xué)學(xué)院，我們的培養(yǎng)目標(biāo)是懂經(jīng)濟，精數(shù)學(xué)的復(fù)合型專業(yè)人材，而高等數(shù)學(xué)相關(guān)教材[1]無法適用我們的教學(xué)。因為現(xiàn)在學(xué)校采取的是大類招生政策，學(xué)生入學(xué)學(xué)習(xí)一年后分再分流選專業(yè)。高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容無法同時滿足數(shù)學(xué)學(xué)院所有專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，因此數(shù)學(xué)分析作為學(xué)院專業(yè)基礎(chǔ)課也就成為必然。然而以數(shù)學(xué)分析[2]作為基礎(chǔ)課教材，會面臨著很多的新困難[3]。

1.學(xué)生數(shù)學(xué)水平差距大

財經(jīng)院校數(shù)學(xué)學(xué)院的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不好，他們的數(shù)學(xué)水平差距很大。一些學(xué)生在高中階段沒有得到很好的數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練，這在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中，會遇到很大的挑戰(zhàn)。而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)兩極分化也導(dǎo)致數(shù)學(xué)分析教學(xué)的難度成倍增加，這對教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)來說都是考驗。

2.學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣小

數(shù)學(xué)專業(yè)課的性質(zhì)使得很多同學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)專業(yè)課，而作為專業(yè)基礎(chǔ)課的數(shù)學(xué)分析來說，就更難吸引學(xué)生的關(guān)注。數(shù)學(xué)分析內(nèi)容多，定理多，證明多，難理解、難計算，在實際生活中更難找到應(yīng)用。相比財經(jīng)院校中的強勢專業(yè)，如：金融、會計等專業(yè)而言，學(xué)生的付出和收獲差太大，自然對數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的興趣很小。數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也更愿意學(xué)習(xí)經(jīng)濟、會計和管理類的看起來“簡單”、“有效”的學(xué)科內(nèi)容，而對數(shù)學(xué)分析也沒有了學(xué)習(xí)的動力和需求。

3.社會對數(shù)學(xué)專業(yè)的認(rèn)可度小

當(dāng)代社會對數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的認(rèn)識也存在偏差，這既是數(shù)學(xué)專業(yè)知識的普及教育不夠，也是數(shù)學(xué)專業(yè)自身的宣傳力度不夠。很多人不了解數(shù)學(xué)，他們對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識還在初中數(shù)學(xué)的范疇，這種大眾的認(rèn)識又反過來影響學(xué)生對數(shù)學(xué)專業(yè)的認(rèn)識，這就更加深了數(shù)學(xué)無用的思想，對數(shù)學(xué)分析的教與學(xué)造成很大的困擾。

4.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容過于繁復(fù)

數(shù)學(xué)分析自身也存在一些問題。首先數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容過于抽象和繁復(fù)，很少有和實際相聯(lián)系的部分，學(xué)生不知道一些概念的來龍去脈，也不知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的目的是什么。他們往往是為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析而學(xué)數(shù)學(xué)分析，這樣很難培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其次，數(shù)學(xué)分析內(nèi)容和高中數(shù)學(xué)知識的銜接上也存在一定問題。現(xiàn)階段高中知識不能很好的對數(shù)學(xué)分析提供支撐，大部分學(xué)生無法從高中的數(shù)學(xué)知識自然的過渡到數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中去，這一點在文獻(xiàn)[4]中有更詳細(xì)論述。

二、數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中的幾點探索

鑒于數(shù)學(xué)分析在財經(jīng)學(xué)院的教學(xué)現(xiàn)狀，考慮到學(xué)生的情況和數(shù)學(xué)分析這門課程的特點，筆者在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中分別做了一些嘗試。

1.教學(xué)內(nèi)容模塊化

由于數(shù)學(xué)分析內(nèi)容過于復(fù)雜和抽象，且內(nèi)容多，學(xué)生難以接受，很多同仁都對這一問題給出了自己解決方法[4]。筆者根據(jù)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的相關(guān)性對內(nèi)容進行打包，歸結(jié)為極限、微分、積分三大類，每一大類又分為數(shù)個小類，類似于面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計一樣的把內(nèi)容模塊化。模塊化教學(xué)可以把相關(guān)的內(nèi)容統(tǒng)一處理，方便前后聯(lián)系，便于理解知識點的系統(tǒng)性;同時對模塊根據(jù)內(nèi)容分為難中易三個程度，比如實數(shù)的完備性、函數(shù)的可積性討論、向量積分等內(nèi)容可以放在較難的高階模塊。易模塊是基礎(chǔ)部分，重點內(nèi)容，全體學(xué)生必須要掌握，難模塊是提高部分，給小部分同學(xué)學(xué)習(xí)，中模塊可根據(jù)班級的情況靈活處理。這樣方便學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況靈活選擇對應(yīng)的模塊，也便于教師分層教學(xué);再者，內(nèi)容的模塊化，可以使學(xué)生初學(xué)時忽略掉數(shù)學(xué)分析中過多的枝節(jié)問題，便于掌握主體重點內(nèi)容，適應(yīng)學(xué)生對數(shù)學(xué)分析認(rèn)知的心理過程。

2.強調(diào)數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用背景

大學(xué)生學(xué)習(xí)主動性問題一直是個難題。數(shù)學(xué)分析教學(xué)應(yīng)該強調(diào)其應(yīng)用性，應(yīng)該避免為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析而學(xué)數(shù)學(xué)分析的情況。我嘗試把數(shù)學(xué)分析的抽象概念和現(xiàn)實問題結(jié)合起來，從數(shù)學(xué)分析概念的產(chǎn)生背景開始讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析的發(fā)展過程，便于學(xué)生理解數(shù)學(xué)分析的一些定義和定理產(chǎn)生的意義并增加數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用內(nèi)容。這樣能讓學(xué)生從歷史和應(yīng)用中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，進而理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如，在導(dǎo)數(shù)模塊教學(xué)時，我們可以先講講牛頓和萊布尼茲關(guān)于導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的故事，讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)是怎么被他們發(fā)現(xiàn)的，是怎么一步步的發(fā)展壯大起來的，理解導(dǎo)數(shù)能得以快速發(fā)展的必然性，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣;在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)的幾何及極值最值的知識點后，引入邊際函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)f（x）可導(dǎo)，則稱導(dǎo)函數(shù)f'（x）為邊際函數(shù)，那么就自然得出了相應(yīng)的邊際成本C'（Q）、邊際收益R'（Q）、邊際利潤L'（Q）等概念，由利潤、成本和收益函數(shù)關(guān)系L（Q）=R（Q）- C（Q），則得出邊際利潤可表示成L'（Q）=R’（Q） -C'（Q）。我們可以引導(dǎo)學(xué)生研究他們之間的關(guān)系，并解決一些簡單的經(jīng)濟問題，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題與所學(xué)的抽象的導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)性質(zhì)聯(lián)系起來。

從結(jié)果可以看出，當(dāng)Q= 24時邊際利潤為負(fù)值，也就是說，此時多生產(chǎn)一個單位商品總利潤反而會下降。很容易知道當(dāng)Q=200/9時，利潤取得最大，這個就是函數(shù)的極值（最值）問題。

3.分層分類教學(xué)

學(xué)生水平不一導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容及進度難以把控，如何科學(xué)的分層教學(xué)是一個難題。筆者是根據(jù)學(xué)生的愛好、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)生的對未來的規(guī)劃等因素的綜合考慮來對學(xué)生進行分層分類教學(xué)，把數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容分基礎(chǔ)內(nèi)容和提高部分，基礎(chǔ)內(nèi)容以統(tǒng)一集中教授為主，強調(diào)的是基礎(chǔ)和扎實的數(shù)學(xué)技能力訓(xùn)練，對應(yīng)于模塊中的容易及一部分中等難度模塊。然后以興趣小組的形式分組分類教學(xué)來推動數(shù)學(xué)分析提高部分內(nèi)容模塊的教學(xué)，主要體現(xiàn)出學(xué)習(xí)的個性，強調(diào)的是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提高。通過一個基礎(chǔ)教學(xué)，多個小組的分組學(xué)習(xí)的方法，達(dá)到分層教學(xué)的效果。

例如筆者在班上分別成立了競賽興趣組、財經(jīng)興趣組、信息建模興趣組等。在基礎(chǔ)模塊的基礎(chǔ)上，分別引入一些相關(guān)的知識模塊。競賽組有意識的安排考研及數(shù)學(xué)競賽題及相關(guān)內(nèi)容，主要偏重于邏輯思維能力的訓(xùn)練;財經(jīng)組則是討論經(jīng)濟金融方面的問題，側(cè)重于數(shù)學(xué)在經(jīng)濟方向的應(yīng)用，比如在學(xué)習(xí)定積分的幾何應(yīng)用時，可以引入總收益函數(shù)的求解問題5]：假設(shè)某產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為R’（Q），則銷售Q個單位時的總收益函數(shù)為R（Q）=JQR'（Q）dQ;信息建模組側(cè)重于數(shù)學(xué)分析中數(shù)據(jù)計算和分析類訓(xùn)練，可以適當(dāng)?shù)囊胍恍┖唵蔚臄?shù)學(xué)模型，討論如何建模、如何處理數(shù)據(jù)，比如光盤數(shù)據(jù)容量的模型C av=loLa_v、商人安全過河模型等。這些興趣小組活動分別以課后作業(yè)及課堂討論、及課外活動、網(wǎng)上研討等多樣的教研形式來推動。

4.實踐教學(xué)與理論教學(xué)相結(jié)合

強調(diào)數(shù)學(xué)分析的實用性，一個重要手段是把實踐教學(xué)和理論教學(xué)相結(jié)合。利用財經(jīng)院校的專業(yè)特點，把數(shù)學(xué)相關(guān)知識與財會類專業(yè)相結(jié)合，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)分析的方法去解決一些經(jīng)濟類、財會、公管類的小問題;同時也可以把數(shù)學(xué)分析與信息類專業(yè)結(jié)合，討論信息處理和數(shù)據(jù)分析，把數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)分析教學(xué)結(jié)合起來。學(xué)生利用數(shù)學(xué)分析的知識解決了一些小的實際問題，不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣，更培養(yǎng)了學(xué)生運用數(shù)學(xué)的能力，學(xué)會以數(shù)學(xué)的思維來處理問題。

在教學(xué)中，筆者主要在下面兩個方面做了些嘗試：首先，把Matlab計算機軟件和數(shù)學(xué)分析的教學(xué)結(jié)合起來，利用Matlab等軟件輔助數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)。伴隨數(shù)學(xué)分析的進度，要求學(xué)生利用計算機實現(xiàn)極限、導(dǎo)數(shù)、積分的計算，函數(shù)作圖等問題。例如在學(xué)習(xí)換元積分法時，在課堂講授換元求解過程的同時利用計算機來作圖形象的展示了積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化過程，還可計算定積分;

例2.計算ffe- drdy，D是由z軸與y軸及x+y=2所圍成的圖形。

其Matlab代碼如下：

syms x y u v; U=y- x;V= y+x;

S= solve（ u-U，v—V，x，y）;subplot 121;

ezplot（‘x+y-2’，[-1，3]）; hold on;

plot（[0，0，3]，[3，0，0]）;fill（[0，0，2， 0]，[2，0，0，2]，'y '）;

axis equal tight; title（'原積分區(qū)域圖'）

subplot 122; ezplot（S.x，[-2， 2]）;

hold on; ezplot（S.y，[-2， 2]）;

vl=solve（S. x+S. y2，v）;ezplot（vl，[ -2，2]）;

fi11（[0，2， -2，0]，[0，2，2，o]，'y'）;

title（‘變換后的積分區(qū)域圖'）;%然后根據(jù)變換后的積分區(qū)域計算該二重積分;

f=exp（（y x）/（y+x））;

f=subs（f，{x，y），{S.x，S.y））;

J=det（jacobian（[S.x;S.y]，[u，v]））;

I=int（int（f* abs（J），u，-v，v），v，O，2）.

其次，通過討論課、課外探索作業(yè)等形式，安排學(xué)生研究一些起小的建模問題、解決經(jīng)濟上的一些小問題或者數(shù)學(xué)分析難題的一題多解等等，通常是二到三周安排一個主題。比如在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中凹凸函數(shù)的性質(zhì)時，安排經(jīng)濟興趣和建模興趣組討論如何利用函數(shù)的凹凸性研究有關(guān)市場中收益最大化的問題;對于競賽組可以讓他們討論函數(shù)凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用等，兩組可先采取課外討論，網(wǎng)絡(luò)交流，然后大家課堂上相互交流討論研究結(jié)果，最后分別以作業(yè)或者小論文的形式寫出研究結(jié)果。

5.改變單一的評價方式，多維度考察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

評價方式指引了教學(xué)的方向，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)首先要改變原有的以考試作為唯一的評價體制，在文獻(xiàn)[6]中吳老師等對這一問題做了詳細(xì)的論述。筆者根據(jù)本校的特點，采取多維度的評價方式，即保有原有的考試評價，又加入了平時考核、實踐考核等，其中傳統(tǒng)的筆試成績占60%，實踐考核成績占40%，評價主要依據(jù)以實驗報告，研討評價等多種表現(xiàn)形式。多維度的測評方式，有助于更客觀的評價學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，有助于學(xué)生多向發(fā)展。

三，結(jié)語

數(shù)學(xué)分析的教學(xué)難度，集中而典型的體現(xiàn)了整個數(shù)學(xué)專業(yè)在教學(xué)中存在的一些問題。怎樣教好數(shù)學(xué)課，怎么讓數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生快速提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進而提高自己的競爭力，是數(shù)學(xué)專業(yè)教師的責(zé)任。我們數(shù)學(xué)教師在應(yīng)該相互學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，不斷的總結(jié)經(jīng)驗，不斷改進教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)效率，才能更好為教育事業(yè)貢獻(xiàn)自己的力量。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[Ml.高等教育出版社.2014.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，2010.

[3]但煒， 財經(jīng)類院校數(shù)學(xué)分析教學(xué)的思考[J]，高教學(xué)刊，2016（04）

[4]龔小兵，數(shù)學(xué)分析教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)銜接因難的成因分析及解決建議[J]，赤峰學(xué)院學(xué)報，2015 （31）

[5]毛培民，探計積分在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014 （11）.

[6]吳金霞，劉闖，數(shù)學(xué)分析教學(xué)方法及考試方法改革[J]，渤海大學(xué)學(xué)報，2018（ 02）