初等數學中的幾類數列問題研析

徐蘇蘇 湯建鋼 韓宋麗

摘要：通過研究初等數學中常見的數列問題，總結解決數列通項公式、數列求和以及數列與其它知識相融問題的常用方法，有助于學生解決初等數學中遇到的數列問題，提高對數列知識靈活運用的能力。

關鍵詞：初等數學 數列 通項公式 求和

1引言

數列是新課程改革中重要的教學內容，數列問題在初等數學中的學習從小學就有接觸，小學中的數列以找規律的形式出現，最初的定義就是“按一定次序排列的一列數”，讓學生在數列中發現規律，尋找數列規律的方法是依據數列隱含規律的幾種表現形式，從不同的角度，認真觀察、比較、嘗試和計算，在這一階段對數列的認識是最基礎最簡單的，在中學數學中講到數列的定義，出現等差、等比數列以及可以化為等差、等比的數列，難度增強，數列問題在初等數學中非常重要，并且在高考中享有重要的角色，通過分析初等數學教材可知，主要有以下三類數列問題：求數列通項公式的問題、求數列前n項和的問題以及與其它知識相融的問題，本文主要研究這三類問題在初等數學學習中的應用，分析解決數列問題的常用方法，并借助相應的例題來說明。

2 求數列通項公式的問題

求數列的通項公式是學習數列知識的基礎，出現在小學、初中的數學競賽和高中數列教學中，它以螺旋的方式出現，最初的數列問題是根據學生的認知，學生從事物的排列中找規律，之后通過動手涂色、畫一畫等數學游戲培養學生的觀察能力，循序漸進的讓學生意識到數也有規律，逐步利用觀察法、構造法、累加法、累乘法等一些方法求出數列的通項公式。

觀察法求通項公式是最基礎也是最簡單的一種方法，它通常出現在小學和初中的數學競賽中，通過觀察圖形或者表格中數值的關系來判斷數的變化規律，從而找到數列的通項公式。

例1如下圖所示，由一些點組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個頂點）有n（n>1）個點，每個圖形總的點數S是多少？當n=5，7，11時，S是多少？

問題分析：該題的本質是通過觀察已知圖形中點的個數得出變化規律，得出S=3n-3，進而求出當n=5，7，11時S的值，解題方法是讓學生會觀察，比較、嘗試和計算，根據圖的規律，找到數的規律。

構造法、累加法和累乘法求數列的通項公式在人教版數學必修5第2章數列的學習中出現，它們是求數列通項公式的常用方法。

3求數列前n項和的問題

求數列前n項和的問題主要出現在高中數學的學習中，在人教版必修5第2章節出現，數列求和問題是數列解答的考察重點，在高考中占有重要地位，在這一部分的學習中應根據通項公式的特點，選擇合適的方法進行求解，常見的方法有倒序相加法、錯位相減法、公式法、裂項相消法、分組法等。

在數列求和問題中，人教版高中數學必修5第2章推導等差數列和等比數列的前n項和的公式就利用了倒序相加和錯位相減的方法得出了求和公式.利用公式求數列的前n項和也是數列求和問題的基礎，這里不再探究，下面利用例題來說明裂項相消法和分組求和法在數列求和試題中的應用。

4 數列與其他知識相融的問題

隨著教育的不斷改革，國家選拔人才越來越重視宗合型，數列的命題體現出數學知識之間的縱向和橫向的有機聯系，這也是高考的新型命題方式，在數列的命題中出現了許多與其他知識相融的題型，例如數列與不等式的相融、數列與函數的融合和數列與向量的融合，以及數列的極限問題等新的命題方式。

問題分析：該題綜合性較強，（l）題通過遞推關系得數列{an）為等比數列，進而求出（an）的通項公式.第（2）問中放縮法證明不等式是難點，放縮法可以將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，把數列問題與不等式問題結合到了一起，進而可以解決問題。

問題分析：該題的知識點包括函數的性質和數列的計算問題，運用構造法求出數列的通項公式，再根據奇函數的性質得出f（a5）+f（a6）=-f（1）進而求出結果，既考察了函數，又考察了數列，是數列與函數融合的綜合應用，意在培養學生綜合分析的能力，

問題分析：數列的極限問題在高考中頻繁出現，該題考察了的數列和極限四則運算的知識，通過求出的前”項和，結合已知條件得出Iimq n=0，再根據極限的四則運算，解出答案，培養了學生的邏輯思維能力和推理能力。

5 總結

數列問題是初等數學教學的重要部分，也在高考中占有重要地位，數列的通項公式問題是基礎內容，學會了求通項公式的方法是繼續學習數列的前提，因此學生要掌握求通項公式的幾類方法，掌握其中的數學思想是解決數列通項問題的關鍵;數列的求和問題也是重中之重，其中滲透了轉化與化歸和分類等數學思想，在這一類問題中要注重培養學生的解題能力;最后一個問題就是解決數列與其他知識相融的問題，這一類問題綜合性極強，體現了數學知識之間的縱向和橫向的有機聯系，一般來說，學生解決此類問題存在很大問題，但是可以有效地培養學生的邏輯思維能力和推理能力，從這三類問題的研析中可以足以說明解決好數列問題是發展學生數學能力的重要部分，有助于學生解決不同的數列問題，提高對數列問題靈活運用的能力。

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