分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

顧艷

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想需要抓住兩點(diǎn)：（1）掌握分類的原則，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)、不遺漏，力求最簡;（2）體會(huì)分類的思想，即不能確定，就要分類。學(xué)生在處理等腰三角形有關(guān)的多解問題時(shí)，常?？紤]不全面，導(dǎo)致漏解。因此，將中考一輪復(fù)習(xí)課《等腰三角形問題》整合成分類討論的專題，通過層層遞進(jìn)的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對邊、角、頂點(diǎn)、高等條件進(jìn)行分類，幫助學(xué)生掌握分類的原則，體會(huì)分類的思想。

關(guān)鍵詞：分類討論思想滲透等腰三角形問題復(fù)習(xí)課

分類討論是按照對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將對象區(qū)分為不同種類，加以研究的思想方法。它是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想。使用分類討論思想往往能使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化。應(yīng)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性、條理性，提升學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視分類討論思想的滲透。

筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想需要抓住兩點(diǎn)：（1）掌握分類的原則，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)、不遺漏，力求最簡;（2）體會(huì)分類的思想，即不能確定，就要分類。下面以中考一輪復(fù)習(xí)課《等腰三角形問題》為例加以說明。

一、教學(xué)構(gòu)想

這節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了等腰三角形的基本知識，較為全面地理解了等腰三角形的概念、性質(zhì)，也做了不少等腰三角形的證明及計(jì)算練習(xí)，且正確率較高。但是，學(xué)生在處理等腰三角形有關(guān)的多解問題時(shí)，常?？紤]不全面，導(dǎo)致漏解。因此，筆者將中考一輪復(fù)習(xí)課《等腰三角形問題》整合成分類討論的專題，希望通過層層遞進(jìn)的習(xí)題，幫助學(xué)生掌握分類的原則，體會(huì)分類的思想。

二、教學(xué)簡錄

（一）熱身練習(xí)

通過一組簡單的填空練習(xí)，喚醒學(xué)生對于等腰三角形的解題方法的記憶。

練習(xí)1已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為95°，則其底角為。

練習(xí)2已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為65°，則其底角為。

（二）探究一：與邊有關(guān)的分類

師（投影出示）例1：已知等腰三角形的兩邊長是方程x2-11x+30=0的兩根，求它的周長。

生周長是16或17。

師很好！能說說你是怎么考慮的嗎？

生我先解方程，方程的兩根為5和6。求周長需要分腰為5、底為6和腰為6、底為5兩種情況討論。

師很好！現(xiàn)在我將這道題改一改，你們再試試。（投影出示）變式：已知等腰三角形的兩邊長是方程x2-6x+8=0的兩根，求它的周長。

生8或10。

生不對，8要舍去。

師為什么？

生方程的兩根為2和4。求周長需要分腰為2、底為4和腰為4、底為2兩種情況討論。但是，腰為2、底為4這樣的等腰三角形不存在，所以8要舍去。

師很好！我們在分類討論時(shí)，還要考慮三邊之長是否滿足三角形的構(gòu)成條件。（投影出示）例2：已知等腰三角形ABC的周長為8 cm，AB=3 cm，則BC=cm。

生兩解：2或2.5。

師能說說你的思路嗎？

生我是分兩種情況來求解的：當(dāng)AB為腰時(shí)，AB=AC=3 cm，則BC=2 cm;當(dāng)AB為底時(shí)，AB=3 cm，則AC=BC=2.5 cm。

師有沒有補(bǔ)充的？

生沒有。

師這道題和上一題有什么不同？

（學(xué)生遲疑。）

師老師提示一下：上一題是知道等腰三角形不相等的兩邊長，求其周長，只要對已知的兩條邊哪個(gè)是腰、哪個(gè)是底進(jìn)行分類討論，剩下未知的一條邊是腰還是底就確定了;而這道題是知道等腰三角形的周長和一條邊長，求其另外一條邊長，因此除了要對已知的邊是腰還是底進(jìn)行分類討論，還要對——

生（恍然大悟）還要對要求的邊是腰還是底進(jìn)行分類討論。

師非常好！請你補(bǔ)充完整。

生當(dāng)AB為腰時(shí)，若BC為腰，則AB=BC=3 cm;若BC為底，則AB=AC=3 cm，BC=8-3×2=2（cm）。當(dāng)AB為底時(shí)，BC為腰，則AC=BC=（8-3）÷2=2.5（cm）。

師非常好！這道題要分三種情況討論。實(shí)際上，換個(gè)角度看，這道題和上一題的不同還體現(xiàn)在，這道題給出了頂點(diǎn)具體的字母，而上一題沒有給出。因此，我們還可以對具體的字母從頂點(diǎn)的角度分類。誰來試試？

生（1）當(dāng)A為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AB=AC，BC為底;（2）當(dāng)B為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AB=BC，AC為底;（3）當(dāng)C為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AC=BC，AB為底。

師很好！你發(fā)現(xiàn)了什么？

生這三種情況和之前對已知的邊及要求的邊是腰還是底進(jìn)行分類討論得到的三種情況是一一對應(yīng)的。

師非常好！你能按照現(xiàn)在這種分類方法將這道題的解答補(bǔ)充完整嗎？

生（1）當(dāng)A為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AB=AC=3 cm，則BC=2 cm;（2）當(dāng)B為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AB=BC=3 cm; （3）當(dāng)C為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AC=BC=2.5 cm。

師很好！這兩種解法本質(zhì)上是一樣的。我們在解決有關(guān)等腰三角形邊的問題時(shí)，有時(shí)需要對邊進(jìn)行分類討論，即對已知的邊和要求的邊是腰還是底進(jìn)行分類討論。當(dāng)然，在給出頂點(diǎn)具體的字母的情況下，也可以按頂點(diǎn)來分類討論，因?yàn)轫斀堑捻旤c(diǎn)一旦確定，腰和底也就隨之確定了。

[設(shè)計(jì)意圖：例1只需要考慮一次分類，是鋪墊題。變式題是為了讓學(xué)生在分類的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)全面考慮，進(jìn)行取舍。例2需要考慮兩次分類，或者換一個(gè)更本質(zhì)的角度，通過一次分類獲得所有情況，是易錯(cuò)題。很多學(xué)生的思維定式是抓住一個(gè)條件進(jìn)行一次分類，這樣最容易漏解。通過例2，學(xué)生可以學(xué)會(huì)多角度思考，讓思維更縝密;學(xué)會(huì)換角度思考，讓思維更靈活。]

（三）探究二：與角有關(guān)的分類

師（投影出示）例3：已知等腰△ABC中，∠A=80°，則∠B=。

生老師，我們小組計(jì)算出三個(gè)答案：50°、20°、80°。我們是按頂點(diǎn)來分類的。

師很好，活學(xué)活用！頂角的頂點(diǎn)一旦確定，頂角和底角也就隨之確定了。而如果按角來分類，則不僅要對已知的角分類，還要對要求的角分類?？梢?，按頂點(diǎn)來分類最高效。（稍停）你能上黑板畫出對應(yīng)的三個(gè)圖形嗎。

（學(xué)生板演，結(jié)果如圖1。）

師很好！依次是A為頂角的頂點(diǎn)、B為頂角的頂點(diǎn)、C為頂角的頂點(diǎn)的情況。（投影出示）例4：已知等腰△ABC中，BC邊上的高等于BC邊長的一半，則∠BAC=。

（學(xué)生小組討論。）

生這道題，我們認(rèn)為應(yīng)該分成兩類：（1）BC為底時(shí)，∠BAC=90°;（2）BC為腰時(shí)，∠BAC=75°。

師你能上黑板畫出圖形嗎？

（學(xué)生板演，結(jié)果如圖2。）

師BC為底時(shí)，不難得到∠BAC=90°。但是，BC為腰時(shí)，你是怎么得到∠BAC=75°的呢？

生在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=BC=2AD，所以∠B=30°。可得∠BAC=75°。圖3

師好的。分成這兩類后得到的結(jié)果都沒有問題。那么，這樣的分類有沒有問題呢？我們再來檢查一下。這里是按邊分類的。若果按角分類，結(jié)果一樣嗎？

生一樣。

師按頂點(diǎn)分類呢？

生一樣，因?yàn)锽為頂角的頂點(diǎn)、C為頂角的頂點(diǎn)這兩種情況實(shí)際上是一樣的。

師非常好！那么，還有什么條件可能也需要分類討論嗎？

生是高這個(gè)條件嗎？

生（恍然大悟）當(dāng)BC為底時(shí)，要分BC邊上的高AD在三角形內(nèi)和在三角形外兩種情況討論。

師AD什么情況下在三角形內(nèi)？什么情況下在三角形外？

生頂角B（或C）為銳角時(shí)在三角形內(nèi)，為鈍角時(shí)在三角形外。

生黑板上只畫出了銳角三角形，還有鈍角三角形沒有畫出來。應(yīng)該還有一解：∠B（或∠C）=150°，∠BAC=15°。

師很好！下面我給出完整的分類，大家來看看。（投影出示圖3）這道題在按邊或角或頂點(diǎn)分類的前提下，還要對高的條件進(jìn)行分類。所以這道題的結(jié)果是三解。分類要到位，才能不漏解：對任何條件，都要看看是確定了的還是需要討論的;對一個(gè)條件分類討論之后，還要看看其他條件是確定了的還是需要討論的。

[設(shè)計(jì)意圖：例3承接例2，將邊換成角（周長條件相當(dāng)于隱含的內(nèi)角和結(jié)論），讓學(xué)生按之前掌握的方法（思路）進(jìn)行分類，屬于復(fù)習(xí)鞏固題。例4新增了一個(gè)高的條件，表面上需要考慮三次分類，實(shí)質(zhì)上需要考慮兩次分類（BC為腰或底一旦確定，∠BAC為頂角或底角也就隨之確定了），具有一定的挑戰(zhàn)性，將學(xué)生的思維發(fā)展推向高潮。而教師最后的總結(jié)，明確了分類的思想，起到了畫龍點(diǎn)睛的作用。]