求解不等式問題的方法與技巧

周華勁

摘 要：不等式是高中數學知識的重要板塊之一，高考必考題目。本文將主要對一元二次不等式，絕對值不等式的求解方法與技巧進行研究。

關鍵詞：求解;不等式問題;方法;技巧

1、一元二次不等式的解法

1.1一元二次不等式

含有一個未知數且未知數的最高次數為2的不等式叫做一元二次不等式。如，.其中均為常數且.

一元二次不等式是常見的基本不等式，是不等式的基礎內容。其解法步驟為：移向，正化，求根，標軸，穿線（偶重跟打結），定解。

移向，根據求解需要把不等號兩邊的解析式進行轉移。移向時，解析式的符號改變，不等號不變。

正化，就是把不等式中的解析式的符號變為正的。若解析式為正，則不等號不變;若解析式為負，把解析式轉化為正，不等號改變。

求根，把不等式化為方程，求出方程的根。

定解，根據求解的跟，確定不等式的解（集）。

技巧：運用函數圖像。

1.2一元二次不等式的常規解法

設有為一元二次不等式，當時，可在不等式兩邊同乘以-1，變形為二次項系數為正數的情況。

把一元二次不等式轉化為一元二次方程，并且要確定一元二次方程有沒有解。而判斷一元二次方程是否有解，需要了解根判別式法。在一元二次方程中，若，則方程有兩個不相等的實數解，原不等式的解為，不等式的解為.

若，原不等式可化為

，所以此不等式的解釋，而不等式無解。

此外，若若時，因為

.所以原不等式的解是全體實數，而不等式無解。

例1 ? 解不等式

分析：這是一元二次不等式，我們可以按照一元二次不等式的解法。

解：因為 ?另

可求出兩個根 ?所以不等式的解

是

對于一些特殊的一元二次不等式，有一些較為方便簡單的技巧。比如解不等式。運用常規的方法為，先判別一元二次方程有無解，再求方程的根，然后再定解，顯得非常的繁蕪困難。

其實應聯想到把多項式化為幾個多項式相乘的形式，再根據穿針引線法，即可確定所要求解的不等式的解。

對于解不等式，可以把多項式，轉化為幾個多項式相乘的形式，我們可以得出每個因式的零點，分別為.如何轉化為幾個多項式相乘的形式，需要一定的技巧。

對于，若有兩數之和等于，兩數之積等于，則，可以轉化為.其中，

在這里運用穿針引線法，可得出原不等式的解。可以簡單總結其法則為，自上而下，從右到左，奇穿偶不穿。

因此，解不等式

解：

所得的兩個零點為

根據穿針引線法，原不等式的解為

2、絕對值不等式的解法

2.1絕對值不等式

把含有絕對值符號的不等式稱之為絕對值不等式。

基本的絕對值不等式有，其中，的解集為，的解集為.因此，可以解絕對值不等式，其中

2.2絕對值不等式的解法

分段討論法是求解絕對值不等式的基本方法，先找出每個絕對值記號內的函數零點，用這些零點將此不等式的定義域分成若干個相互連接的子區間，然后在每一字區間上，根據絕對值的定義，去掉絕對值符號，求出原不等式的解集，最后確定這些解集的并集即可。這種方法去掉絕對值之后，分段討論，這樣就把原來較為復雜的絕對值不等式化為簡單明了的整式不等式或不等式組，然后再對整式不等式或不等式組進行求解，確定解集即可。

解不等式

分析：這種絕對值不等式是類型，其解為.

解：

（去絕對值）

所以，原不等式的解為

解不等式

原不等式是類型，其解為或.

解：

（去絕對值）

所以，原不等式的解為

解不等式

分析：求出的零點是-4，的零點為1，所以用-4，1將數軸分成三個區間討論，原不等式的解就是三個不等式組的并集。

解：

的零點為-4，的零點為1，用這兩個零點可以將數軸分為三個區間，原不等式可化為下列三個不等式組的并集。

解得方程組（1）無解，方程組（2），方程組（3），

且時，原不等式成立，

所以，原不等式的解為.

形如，雖然可以運用分段討論的方法取絕對值進行求解，但是還有更簡便的方法去絕對值。對于，分別對不等號兩邊的式子平方，不等號不變。這樣即可把一元不等式的絕對值去掉，化為普通的整式不等式進行求解。

例 4 ? 解不等式

解：原不等式可化為：

有

解得

故，原不等式的解為.

有時候，我們可以把其他的不等式轉化為絕對值不等式，這樣也可以達到快速解題的效果。

如，解不等式

分析：多項式可以轉化為.原不等式可以轉化為.由此可去根號，化為，到了這里就可以利用類型，其解為來求解，即可得出元不等式的解

解：

有

可得

即

所以，原不等式的解為.

小結：求解絕對值不等式最主要就是去絕對值，把絕對值不等式化為整式不等式或不等式組。要是不等式中只有一個絕對值符號，直接運用的類型，其解為或，以及類型，解為。要是不等式里含有多個絕對值，需要找出每個絕對值符號內的零點，這幾個零點組成幾個區間，再用分段討論法，即可去絕對值，把絕對值不等式轉換為不含絕對值的不等式（組）。當然在某些情況下還有更好的取絕對值的方法，比如當不等號兩邊都是只含絕對值符號時，兩邊平方即可。也可以使用逆向思維，利用絕對值不等式來簡化比較復雜的不等式。比如，根據算數根與絕對值的關系，某些無理不等式可化為絕對值不等式來求解。