從一道題到一類題

羅兵

關于高中數學說題從理論高度有很多論述，結合具體的實例，筆者以理論為指導，從一道四川2006年理科16題入手，簡要探討一下高中數學說題研究的一般過程和方法。

一、試題呈現

二、試題分析

教師在說題過程中，對試題的分析可以從以下幾點入手：

（1）明確課程標準和考試說明以及考試大綱。課程標準是綱領性文件，它是從宏觀的角度對數學課程的一個總體性把握和引領，因此教師在具體的教學實施過程中，必須遵循課程標準。而考試說明和考試大綱則具體從選拔性考試的高度對某個數學知識需要達到什么樣的要求方面進行規范，因此教師在具體的教學中要做到抓綱務本，不能超越課程標準和考試大綱要求去規范和約束自身的教學行為，教學規范。

普通高中《數學課程標準》對數學課程性質界定“高中數學課程對于認識數學與自然界、數學與人類社會的關系，人數數學的科學價值、文化價值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發展智力和創新意識具有基礎性作用”，而在課程的基本理念第三條特別強調“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”。2015年普通高等學校全國統一考試大綱對數學的考試性質中強調“高考應具備較高的信度、效度，必要的區分度和適當的難度”，而考核目標與要求第四點考查要求則強調“對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查”。鑒于此，我認為對該試題的分析從試題的要求上而言，它遵循課程標準，遵循考試大綱，以能力立意為基礎，緊扣普通高中數學教材知識，如集合中的相關表達中的關鍵詞“平面向量、二次三項式、虛數”等都源自教材，但試題的命題具有創新性，以基本運算和基本運算的性質為抓手進行問題設置，是一道很金典的試題。

該題以高等數學中的向量空間和線性變換為基礎，結合高中數學向量運算，命題新穎，富有創造性。

該試題以近世代數中的“關系”為命題源，巧妙結合中學數學基本知識，從近世代數中的“關系”過度到我們認同的一般關系，將中學數學和高等數學充分的銜接。諸如類似的例子在高考試題中比比皆是，在此不再一一贅述。

對于06年四川這一道金典的高考試題，它結合高等數學的群論，將中學數學中的集合論與之有效的銜接，并從代數學的基本理論方面入手展開，最后做到對問題的設置。試題在設置中，銜接平穩，過度自然，充分結合高中數學知識，試題具有一定的創造性。在教學中，關于代數學的基本理論我們很大一部分教師在具體的教學實施過程中比較容易忽略，如向量學習中國，向量加法的交換律，第一分配率、第二分配率等基本理論不會引起重視，因此教師教學中需要主要教學中的疏忽可能會造成以此學生思維形成的最佳節點，因此教學中教師要充分的挖掘教材。

（3）解題方法分析。在說題過程中，對解題方法的分析，重點要突出和體現數學思維的形成過程，尤其要找出解題的關鍵因素，即通常意義下我們所說的破題，具體可以細化到每一個關鍵的步驟，同時要突出數學思想方法。

三、試題的拓展和延伸

研究試題，我們不是僅僅局限于試題本身，而是要通過對一道試題的深入的分析，將試題和教材、高考緊密的聯系，聯系與之相關的數學思想方法，數學類題和類似解題方法等，并將試題做進一步的延伸，形成“一類”，這里的“一類”可以是一類思想方法相似的題目，也可以是一類相關知識雷同的題目，也可以是一類對之加工后的變式題目等，這樣才可以從真正意義上將試題的研究帶人到一個高度，力爭達到“高觀點下的中學數學教學”，提升教師自身的解題能力，帶動和引導學生解題。

如果將2006年的高考試題延伸到一類，我們可以獲得以下類題：

當然，高中數學說題我們僅僅做一種嘗試和探索，在具體的實施過程中，同一道試題跟參與教師的不同認知水平而言有一定的差異，我們通過說題的探討，其根本目的還是要提高教師對試題的整合和研究能力，為高三復習，尤其是新一輪的全國高考做鋪墊，說題也力求百花齊放，百家爭鳴，只有加強對問題的探討，教師才能獲得真正的新知，提高自身的教學研究能力。