用射影觀解釋2018年全國卷（1）理科數學解析幾何

湯思勝

一 、序言

射影幾何博大精深、魅力無窮，題目讓人耳目一新、流連忘返。可惜它的內容深奧、圖形復雜，學生很難在短時間里面入門該課程，這是一種遺憾。而從前蘇聯教育家維果茨基提出的最近發展區理論來看，圓是高中學生學習橢圓的最近發展區，是學習解析幾何思維的起點，如果能把圓的性質類比到橢圓，將會讓學生感受到幾何的震撼，也可以極大地提高學生學習數學的興趣。因此本文想嘗試用高中生能理解的少部分射影幾何概念，去解釋2018年全國卷（1）理科數學解析幾何題的原理。

二 、預備知識

1.調和點列的概念：如圖所示，設A，B，C，D是一條直線上的四點，若滿足，則稱為A，B，C，D是調和點列。

2.調和點列性質：（1）設A，B，C，D是一條直線上的四點，O是直線外一點，若 A，B，C，D成調和點列（即的意思），則有（如下圖）。

證明：由于 （三角形面積公式）

。

又因為（把邊 看成三角形的底），

所以……

①同理；。

②又因為；所以……

③又因為……

由①，②，③式可得

，性質證畢。

3.調和點列性質：（2）設A，B，C，D是一條直線上的四點，O是直線外一點，若 A，B，C，D成調和點列，且OA⊥OB，則有OB 平分∠COD，OA平分∠COD的外角 （如下圖）

證明：由性質（1）得

因為∠AOD=90°+∠BOD ，

所以sin∠AOD=sin（90°+∠BOD）同理：∠AOC=90°-∠BOC，所以sin∠AOC=sin（90°-∠BOC）。

所以，推出sin（∠BOD-∠BOC）=0，

所以OB平分∠COD；OA平分∠COD的外角（證明過程略）

為了應用上面的性質，同時也為了給后面的高考題做個鋪墊，特設計了這道關于圓的純幾何證明的例題。

例題：如下圖所示，已知圓O的一條直徑為CD，弦AB過點F，且。

證明：

（1）AD平分∠FAM，且CA平分∠KAB

（2）

（3）∠KMC=∠BMC

證明：為了方便書寫，記∠4=∠KAD， ∠3=∠FAD，∠2=∠CAB， ∠1=∠KAC

（1）由，可得C，D，F，M為調和點列，且DA⊥DC（圓周角直角），

由性質2立即得出AD平分∠FAM，AC平分∠BAK，所以∠1=∠2

（2）因為∠1=∠2，所以（圓周角所對的弧相等）

（3） 由對稱性，所以∠KMC=∠BMC

4.調和點列性質：（3）設直線AB的斜率為k，若直線上的點橫坐標擴大a倍 ，縱坐標擴大b倍，則直線AB的斜率變為 。

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2）沒變化之前 ，變化后。

三、真題分析

2018年全國卷（1）理科數學第19題

設橢圓C：的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB

解釋：（1）略

（2）點F的坐標為（1，0），如果把上面那個例題中的圓O設為標準圓x2+y2=1。根據的關系，可設點C，F，D，M的坐標分別為（-1，0），，（1，0），（，0）。把該圓O的橫坐標擴大倍，縱坐標不變，則圓O恰好變成橢圓。而點F，M的坐標恰好變為（1，0），（2，0）。由性質（3）可得直線BM，KM的斜率在拉伸變化過程中，始終有 KBM=KKM，所以∠OMA=∠OMB的結論成立。從而可以看出這道高考題的背景能用調和點列的性質來解釋。

四、課堂實踐

在2016年，本人曾經在一個理科普通班（該班全國高考數學平均分90分左右）實踐過這三條性質的講解，學生普遍能接受，效果不錯。但是對調和點列這個概念，特別是那個比值的書寫容易混亂，這一點需要加強突破。