一種基于Costas序列的多輸入多輸出聲納正交發射信號集設計方法

賈基東， 李淑秋， 高善國

(1.中國科學院 聲學研究所， 北京 100190; 2.中國科學院大學 電子電氣與通信工程學院， 北京 100049; 3.中國科學院 先進水下信息技術重點實驗室， 北京 100190)

0 引言

如何選擇發射信號的波形是主動聲納設計過程中必須考慮的問題之一。不同的信號波形具有不同的信號參數，會有不同的處理結果，直接影響聲納的性能[1]。如傳統聲納系統常采用單頻矩形連續波(CW)脈沖信號、線性調頻(LFM)脈沖信號等。其中，CW的短脈沖具有較好的距離分辨力、長脈沖具有較好的速度分辨力，二者不可兼得。LFM利用脈沖壓縮技術克服了探測距離和測距精度之間的矛盾，但其距離分辨力不如CW短脈沖、速度分辨力不如CW長脈沖。可見，對于不同用途的主動聲納而言，波形設計工作至關重要。

多輸入多輸出(MIMO)探測聲納是一種通過MIMO技術規劃時空信道，以獲取更高聲納探測能力的新型主動探測聲納[2]。相比于傳統主動聲納的單輸入多輸出(SIMO)系統，MIMO聲納具有多個發射單元，能夠同時發射多個相互正交的探測波形，在接收端通過相關技術對不同發射信號進行分離處理，從而可以獲得更高的檢測增益和空時分辨能力。因此，對于MIMO聲納的波形設計工作而言，首先是要找到一組兩兩相互正交的發射信號集，且具有良好的距離分辨力和速度分辨力。

MIMO技術在探測中的應用引起了眾多學者對設計MIMO聲納正交探測波形的興趣。由于CW信號存在測距精度和傳播距離的矛盾，人們嘗試找出適合MIMO聲納的寬帶探測信號。文獻[3]研究了一種正交頻分(OFD)LFM信號，這種信號是對傳統聲納LFM信號的直接擴展，各個LFM信號分別落在不同的子頻帶內、形成彼此間的正交性。

文獻[4]提出了一種基于Gold序列的相位編碼信號。Gold序列由兩個m序列優選對通過模2和運算產生，具有優于m序列的互相關函數和多于m序列的序列族數量，但任意長度的m序列優選對并不容易尋找[5]。文獻[6]設計了一種碼分復用波形，將信號頻域和時域劃分為等分的子帶，在每個時域子帶內隨機選取子頻帶和調頻正負，從而使信號間相互正交。隨機編碼的時頻編碼信號難以進行理論分析，信號集整體性能有待驗證。Costas序列由Costas于1984年提出，采用Costas序列編碼的跳頻信號具有近似理想的時延多普勒模糊函數，受到人們的廣泛關注[7-12]。

本文研究了Costas序列在MIMO聲納探測中的應用，提出了一種基于Costas序列的跳頻信號集設計方法，以期使信號集正交性和信號集中的信號數量同時達到最優。

1 正交信號集模型

1.1 理想正交信號集

信號集S={s0,s1,…,sN-1}稱為一組正交信號集，當且僅當滿足：

|χij(τ,η)|=0,i≠j,

(1)

式中：τ表示信號時延；η表示多普勒尺度因子；|χij(τ,η)|表示信號si與sj的模糊函數[13]，

(2)

1.2 OFD-LFM信號

假定sn-1(t)是第n個聲源發射的OFD-LFM信號，則有[3]

(3)

1.3 跳頻信號模型

跳頻信號是信號頻率根據序列編碼隨時間跳變的信號。假定跳頻信號子脈沖為CW信號，序列編碼為M={m0,m1,…,mN-1}，第n個子脈沖頻率為fn=f0+Δfmn，f0為初始頻率，則跳頻信號s(t)的數學模型描述如下：

(4)

式中：pn表示子脈沖，Ts=T/N表示子脈沖周期；

(5)

上述跳頻信號模型實際上是一種在時頻二維平面按一定規律構建信號的通式，CW信號、LFM信號都可以視作跳頻信號的特例。跳頻信號子脈沖時長趨向于0、編碼序列碼元值依次遞增或遞減時，跳頻信號分別成為正負調頻的LFM信號；編碼序列僅有一個碼元時跳頻信號轉化為CW信號。

跳頻信號的性能與編碼序列密切相關。常用的編碼序列有M序列、Gold序列[4]、線性同余序列[14]、二次同余序列[15]等。文獻[16-17]在1984年提出了Wlech和Golomb兩種結構化方法設計Costas矩陣，兩種方法都建立在有限域和本原元理論基礎上。基于同一素數p構造的Costas序列具有相同的序列長度，按照這些序列編碼的跳頻信號不僅具有近似理想的自模糊函數，而且同一素數的有限域生成的不同Costas序列間具有一定的正交性，在一定約束條件下可以視作一組正交信號集。

2 Costas序列編碼的正交跳頻信號集

任意每行每列有且僅有1個元素等于1、其余元素都為0的N2階矩陣稱為置換矩陣。Costas矩陣是一類特殊的置換矩陣，它與自身任意方向的平移副本之間都至多有1個元素1重合，如圖1所示。

圖1 Costas矩陣Fig.1 Costas matrix

Costas矩陣的定義如下：

定義1N2階置換矩陣A=[aij](其中1≤i,j≤N,aij∈{0,1})稱為Costas矩陣，當且僅當對任意不全為0的整數r,s(|r|≤N,|s|≤N,(r,s)≠(0,0))，以下非循環差異函數滿足：

(6)

其中，非循環是指i+r或j+s超出區間[1,N]時ai+r,j+s=0.

2.1 Costas序列生成方法

2.1.1 有限域和本原元理論

設F是一個含有0和1的數集，如果F對于數的四則運算都封閉，則稱F為1個數域。用q表示數域F中的元素個數，q=∞時F稱為無限域，q<∞時F稱為有限域。q也稱做數域F的階，相同階的有限域都是同構的。可以證明[18]，有限域的階q=pn，其中p表示素數。有時，將pn階的有限域稱為伽羅華域(Galois field)，記作GF(q)。n=1時有q=p，此時稱GF(q)為素域。

對于GF(q)中的元素α，如果GF(q)中的所有非零元素都能由|αn|q表示，其中1≤n≤q-1，則稱α為GF(q)的本原元，表述如下：

GF(q)={α1,α2,…,αq-1}，

(7)

其中，省略了對q的取模運算|*|q，以下涉及有限域四則運算時均采用這種省略表述。

下面給出一些有用的性質：

性質1有限域GF(q)中有且僅有φ(q-1)個本原元，其中φ表示歐拉函數，即

(8)

式中：p1,p2,…,pr表示q-1質因子分解的r個不同質因子。

性質2如果α是有限域GF(q)的本原元，則有

αq-1/2=-1.

(9)

性質3如果α是有限域GF(q)的本原元，r1,r2,…,rφ(q-1)表示q-1的歐拉函數所描述的φ(q-1)個整數，則GF(q)的所有本原元可以表述為αr1,αr2,…,αrφ(q-1).

2.1.2 本原元搜索方法

利用本原元的定義和性質，可以得到一種搜索GF(q)的所有本原元的方法，首先搜索GF(q)的1個最小本原元，然后利用性質3生成GF(q)的所有本原元集合。具體步驟如下：

步驟1對于給定的素數p，初始化k=2.

步驟2判斷是否滿足條件|k(p-1)/2|p=p-1，是則繼續步驟3，否則轉步驟5.

步驟3計算p-1的歐拉函數φ(p-1)和這φ(q-1)個整數所組成的集合V.

步驟4計算集合E=|kV|p，去掉集合E中的重復元素，判斷集合E中的元素個數是否等于φ(p-1)，是則搜索結束，集合E就是素數p的所有本原元組成的集合，否則進入下一步。

步驟5令k=k+1，重新回到步驟2.

2.1.3 Welch-Costas序列的構造

對于有限域GF(q)，其中q=pn，令n=1，則有限域GF(q)變為素域GF(p)，即GF(p)={1,2,…,p-1}。記GF(p)的所有本原元組成的集合為Ep，若α∈Ep，則本原元α生成的GF(p)長度為N=p-1的Costas序列[17]如下：

W1=αj，j=1,2,…,N.

(10)

記GF(p)所有長度為N=p-1的Costas序列組成的集合為Xp，稱作序列集Xp. 則Welch結構W1構造了一種集合Ep到Xp的一一映射關系，即GF(p)每個本原元都唯一地生成1個Costas序列，且序列集中共有φ(p-1)個Costas序列，記作|Xp|=φ(p-1)。

2.2 信號集正交性表示

2.2.1 序列集的正交性

跳頻信號性能與編碼序列密切相關，基于Costas序列編碼的正交跳頻信號集性能與Costas序列集同樣有緊密聯系。對于有限域GF(p)的序列集Xp，其中任意2個Costas序列的正交性可以用序列的差異函數描述如下：

(11)

式中：i=j時Cij(r,s)表示序列的自差異函數，i≠j時Cij(r,s)表示序列的互差異函數；s=0時Cij(r,0)稱為序列的時延差異函數；r=0時Cij(0,s)稱為序列的頻移差異函數。

顯然，由Costas序列的定義可知，除了C(0,0)，序列的自差異函數C(r,s)≤1，如圖2所示，因此用Costas序列編碼的跳頻信號具有圖釘型的理想自模糊函數。相比于傳統聲納的發射波形設計，在MIMO聲納中，還關心信號集的互模糊性能，然而任意有限域GF(p)構造的Costas序列互相關性能并不理想。幸運的是，對于一些具有特殊形式的素數序列，由它們的有限域構造的Costas序列則具有相對較好的互相關性能。對于一類形如p=2p1+1的素數序列，其中p1也是素數，稱為安全素數。Drakakis等[19]指出，對于安全素數的有限域所生成的Costas序列集合Xp，其中任意2個W1序列的互時延差異函數Cij(r,0)≤2.

圖2 Costas序列的自差異函數Fig.2 Self-difference function of Costas code

定義如下序列集時延差異函數圖譜：

(12)

則MCp(i,j)圖可以清晰地顯示出序列集Xp時延差異函數的整體性能。

定義如下序列集時延差異函數最大值函數：

(13)

則可以用MMC(p)表述不同有限域GF(p)序列集Xp互時延差異函數的性能變化。

2.2.2 信號集的正交性

與序列集Xp相對應，信號集Sp的正交性可以用(2)式所示2個信號的互模糊函數表示：η=1時|χij(τ,1)|表示時延模糊函數，τ=0時|χij(0,η)|表示頻移模糊函數。

定義如下信號集時延模糊函數圖譜：

(14)

則MXp(i,j)圖可以用來表示信號集Sp時延模糊函數的整體性能。

定義如下信號集時延模糊函數最大值函數：

(15)

則可以用MMX(p)表示不同有限域GF(p)信號集Sp互時延模糊函數的性能變化。

2.3 信號集大小與序列長度

對于給定的素數p，有限域GF(p)的信號集大小|Sp|=φ(p-1)。對于安全素數p=2p1+1，則有

|Sp|=φ(2p1)=p1-1.

(16)

信號集大小依賴于素數p，而素數的選擇又與時間帶寬積所允許的序列長度N有關。

已知序列長度N通常有兩種選擇[20]：一種是最小化時延自模糊函數旁瓣的選擇，為

(17)

式中：B為信號總帶寬；ka為序列自相關旁瓣最大值。另一種稱作奈奎斯特選擇，為

(18)

與最小化時延自模糊函數旁瓣的選擇相比，奈奎斯特選擇下信號時延自模糊函數的旁瓣值稍高，但時延自模糊函數擁有更陡峭的中心區域。

在信號時間帶寬積一定時，序列長度N的選擇就決定了信號時頻變化在時頻平面的精細程度。奈奎斯特選擇下信號子脈沖的時間帶寬積TsBs≈1，信號子脈沖已經是不可壓縮信號，因此奈奎斯特選擇實際是序列長度N的上限值。

3 仿真實驗

假定信號集的總帶寬為1 000 Hz，起始頻率為500 Hz，信號時長1 s，采樣率為10 kHz. 通過2.1節所述的Costas序列生成方法，對p<1 000的素數進行仿真分析。以p=107為例，X107中α=2對應W1序列的自時延差異函數如圖3所示，X107中α=2與α=5對應W1序列的互時延差異函數如圖4所示。由圖3和圖4可以看出，序列的自時延差異函數具有尖銳的主瓣，互時延差異函數在整個時間范圍內具有很低的相關峰。

圖5 S107中α=2與α=5對應的Costas編碼跳頻信號時域波形和信號頻譜Fig.5 Waveforms and spectra of signals related to α=2 and α=5 in S107

圖3 X107中α=2對應W1序列的自時延差異函數Fig.3 Self-difference function of W1 related to α=2 in X107 in time field

圖4 X107中α=2與α=5對應W1序列的互時延差異函數Fig.4 Cross-difference function of W1 related to α=2 and α=5 in X107 in time field

對比本文方法和OFD-LFM方法生成的正交信號集，同樣以p=107為例，S107中α=2與α=5對應的Costas編碼跳頻信號時域波形和信號頻譜如圖5所示。由圖5可以看出，兩個編碼信號在不同子脈沖區間的頻率不同，二者在頻域內不同頻點的能量大小也不同，但兩個信號帶寬都為1 000 Hz，利用了系統的全部帶寬。圖6所示為具有同樣系統帶寬和信號集大小的OFD-LFM信號，但每個信號帶寬僅有19.2 Hz，與Costas信號相比，所能獲取的時間增益較小。α=2對應編碼信號的自模糊函數如圖7所示，α=2與α=5對應編碼信號的互模糊函數如圖8所示。從圖7和圖8中可以看出，Costas編碼的跳頻信號具有圖釘狀的自模糊函數，同組正交編碼跳頻信號集中不同信號間具有近似理想的正交性。

圖6 OFD-LFM信號集中信號s0與信號s1的時域波形和信號頻譜Fig.6 Waveforms and spectra of s0 and s1 in OFD-LFM set

圖7 S107中α=2對應編碼跳頻信號的自模糊函數Fig.7 Self-ambiguity function of signal related to α=2 in S107

圖8 S107中α=2與α=5對應編碼跳頻信號的互模糊函數Fig.8 Cross-ambiguity function of signals related to α=2 and α=5 in S107

從圖9中可以看出，相比于全體素數，形如p=2p1+1安全素數的有限域GF(p)，其所生成的序列集和信號集具有更加優良的正交性能；從圖10中可以看出，安全素數的信號集大小與該素數的比值形成了圖中斜率最大的直線。因此，在選擇序列長度N時，無論從信號集正交性角度考慮還是從信號集的大小考慮，選擇p=2p1+1形式的安全素數都是最優的。

圖9 不同GF(p)序列集的互時延模糊函數最大值變化曲線Fig.9 Maximun changing curves of MMC(p)

圖10 信號集大小|Sp|隨素數p的變化曲線Fig.10 |Sp| vs. p

跳頻信號集的正交性與序列集密切相關，如圖11所示，其中，圖11(a)表示X107時延差異函數圖譜，圖11(b)表示帶寬B=1 kHz和信號時長T=1 s時S107的時延模糊函數圖譜。從圖11、圖12的對比中可以再次驗證：安全素數所對應的有限域能夠生成具有優異正交性的跳頻信號集。

圖11 GF(107)序列集和信號集的正交性Fig.11 MC107(i,j) and MX107(i,j)

圖12 GF(113)序列集和信號集的正交性Fig.12 MC113(i,j) and MX113(i,j)

圖13 GF(p)的信號集歸一化互時延模糊函數最大值曲線Fig.13 MMX(p) for B=1 kHz, T=1 s and B=0.75 kHz, T=2 s

再次設定信號集總帶寬為750 Hz，起始頻率500 Hz，信號時長2 s，采樣率10 kHz，與前述仿真條件下的信號集性能進行對比。如圖13所示，對于全體素數，當時間帶寬積BT不同時，信號集正交性較差的素數p出現的位置不同，但對于安全素數，對應生成的信號集能始終保持良好的正交性。

4 結論

為滿足MIMO聲納對發射信號集的正交性需求，本文提出了一種基于Costas序列的MIMO聲納正交發射信號集設計方法。針對常規寬帶信號在工作帶寬限制下單個信號帶寬與發射信號集大小相互制約的矛盾，利用安全素數生成的Costas序列編碼跳頻信號有效解決了該問題，并通過仿真實驗進行了驗證。仿真結果表明，對于1 000以內的素數，基于安全素數的有限域構造的正交跳頻信號集不僅具有最優的正交性，還能取得最大的信號集大小。