知其然，知其所以然

沈巧筠

一、教學后測與分析

《角的度量》是人教版四年級上冊第三單元的內容。這一內容，大家一般把它的教學定位為“技能訓練課”。即通過學習，使學生能夠度量角的大小，并形成量角的操作技能。教過這節課的老師都有這樣的疑問：我明明已經把角的度量方法講得很清楚了，為什么學生量角的正確率還是那么低？我在我們學校四年級的學生中隨機選取100名學生，進行了一次度量角的專項測試，即度量角的后測。測試內容為度量10個不同的角，每個角10分，測量誤差為±2度，總分100分。其中全對的只有6人，占6%。

從后測中可以看出，學生度量角中出現的錯誤有以下幾個因素：

（1）測量誤差偏大。

（2）混淆銳角和鈍角。

（3）度數不是5或10的倍數的角，其錯誤率明顯高于度數為5或10的倍數的角。

（4）估讀數據。當所呈現的角的邊比較短時，有些學生不會將需要讀數的這條邊進行延長，確切找到其在量角器上對應的刻度線，而是采用估計的方法，致使所得度數有偏差。（見圖1）

（5）0刻度線與角的邊未完全重合。部分學生在測量角度的時候不嚴謹，只把量角器的0刻度線和角的一條邊大致對齊，而導致0刻度線與角的一條邊形成了一個小小的夾角，從而使測得的度數偏大或偏小。

（6）內、外圈刻度混淆。這種錯誤是在角的度量中最常見的一種，引起的后果就是銳角和鈍角測量數據混淆。（見圖2）

（7）不良的思維定勢。平時例題和習題中提供的角的度數多為5度或10度的倍數，且角的一條邊多在水平方向，久而久之，學生便形成了思維定勢——碰到的角不是幾十度就是幾十五度，測量時就會有意無意地往5或10的倍數去靠。

基于以上的錯誤，我們不禁要思考：學生真的認識量角器了嗎？真的理解量角的本質了嗎？北京教育學院劉加霞教授就曾指出：學生理解角的度量的本質有兩方面的困難：一方面，學生看不到量角器上的“角”，另一方面，即使看到了量角器上的“角”，也不知道怎樣才能使量角器上的“角”與所測量的“角”重合。

二、教學過程的實踐與研究

（一）從比較角的大小引入，體會統一度量單位的必要性

教學片段實錄1：

PPT課件演示：從一點引出無數條射線

師：你看到了什么，想到了什么？

生1：射線從一個端點出發。生2：看到了很多角。

PPT課件演示：抽取兩條射線，組成∠1，再抽取兩條射線，組成∠2

師：哪個角大？你是怎么知道的？

生：∠1大，我是看出來的。

師引導學生說出“角兩邊叉開的越大，角就越大”。

PPT課件演示：再次抽取兩條射線，組成∠3

師：∠1和∠3哪個角大？

生1：一樣大。生2：∠3大。

師：你是怎么認為一樣大的？

生1：叉開的大小一樣。生2：∠1和∠3里面都有4條射線。

師：這4條射線把∠1和∠3分成了幾個小角？

生：分成了5個小角。

師：現在你認為誰大？

生：一樣大。

師總結：原來角的大小除了看叉開的大小，還可以數小角，誰的小角多，誰的角就大。

師：現在老師這里還有2個角，你知道哪個角大嗎？

生一致認為∠1大。

師公布答案。

師：你有什么想說的？

生1：里面小角的標準不一樣。生2：小角的叉開度不一樣。

師：能不能比？什么樣的情況下才能比？

生：要有統一標準的小角。

師：今天這節課我們就來學習《角的度量》，數學家也統一了小角的大小，這個小角就是1度角。

比較角的大小，這樣看似一個可有可無的環節，實則意義非凡。不僅讓學生對1度角單位表象的認識更加深刻，同時也感悟到了統一度量單位的意義所在。這也正是“量感”培養的基礎。量角的本質是“比較”。量角器上有很多不同度數的角，能在量角器上找到一個與“被測角”大小一樣的角，通過這個問題的解決，就溝通了比較角大小的方法與量角之間的關系，也就理解了量角的本質。

（二）挖掘“單位角”的價值，經歷量角器的創造過程

教學片段實錄2：

師：將圓平均分成360份，相鄰兩條射線之間的角就是1°。

你可以找到幾個1°的角？

出示一個新的角。

師：你們覺得是幾度？

生1：10°。生2：15°。

師：到底是幾度？怎么辦？

生：數格子。（PPT課件演示數的過程——10°）

師：你還能找出其他的10°嗎？這個圓里能分出幾個10°？

師：剛才我們找出1°，10°，你能找出其他的角嗎？

組織學生活動：（1）找一找，你能在這個圖上找到其他度數的角嗎？（2）畫一畫，把你找到的角的兩邊用勾線筆畫出來。

生反饋找到的角。

師：我要知道一個角的度數，可以怎么做？

生：大角數幾個10°，小角數幾個1°。

師：老師也找了一些角，你知道是角的度數嗎？

學生的反映：學生用數的方法，第一個、第二個數得很快，第三個很慢。

師：有沒有辦法不用數，很快得出角的度數？

生提議直接用量角器量。

PPT課件演示：一個圓變成半個圓，增加內外圈刻度，形成量角器。師介紹量角器。

通過創設問題情境，設置矛盾沖突，不斷激發學生學習的需求，引導學生深入思考，逐步探索，實現了對量角工具的再創造。學生能夠理解量角器其實是由一個一個的1°角密鋪而成的，總共180個即180°。學生在找角的過程中就能明確量角器上的角是怎樣構成的，中心點就是頂點，兩條刻度線構成了兩條邊，為后續量角做好了準備。至此，學生在探索和創造中完成了對量角工具的探索，較好地把握了量角器的原理，積累了豐富的數學活動經驗。

（三）用動態的角，解決內外圈讀錯的問題

教學片段實錄3：

在屏幕上呈現一個靜態的角，還原想象成動態的角。

師：屏幕上的這個角，你能想象出它是怎樣展開的嗎？

生1：可以看成是從右邊往左邊慢慢展開，也就是把右面的邊視為0刻度線慢慢展開。

生2：還可以把左面的邊視為0刻度線慢慢展開。

按照學生所答，課件演示將角移至量角器上，讓其中一邊分別與左右兩邊的0刻度線重合，并出現一支筆，讓筆尖順著數據增加的方向慢慢移動，邊移動邊顯示出整十、整五的數，直到接近角的另一條邊，將度數準確讀出。

師：通過剛才的量角，你發現量角的時候要特別注意什么？

生3：一定要從0刻度線開始順著數下去。

生4：其實我從量角器上任何一個度數開始數也是可以的。就像剛才50°的角，我將左邊的邊對齊90°再往右數，數到40°的位置，就是90°減40°等于50°了。

師：剛才這種新方法好不好？

生5：雖然可以算出度數，但還是很麻煩，因為要通過計算才能得出角的度數。

生6：我覺得有道理，只是他將90°的邊當成了0刻度線。

師：是的，這正是量角的關鍵，選準了起始邊，確定了張開的方向，讀出度數就是件容易的事了。

在上述每一個活動中，學生都把角從0刻度線展開，這就幫助學生確定了0度的邊，也就找到了度量的起點和標準。再者，學生按照開口方向讀數，不管0刻度線在左還是在右，也不管是內圈刻度還是外圈刻度，只要從0刻度線開始，從小到大地順著往下讀，就一定不會錯。這其實是在把復雜問題簡單化、本質化，有利于學生對量角方法的掌握。通過實踐發現，要讓學生正確度量，必須建立刻度增加的動態表象，而動態的表象又有賴于直觀的感受，因此從最直觀的肢體語言到半抽象的角，最后到完全幾何化的角，應當是一個遞進的過程。由于符合了學生的認知規律，學生學起來自然輕松、清楚。

探明知識之本源，然后方能取之不盡，要讓學生知其然，更要讓學生知其所以然。教師的教學要由表及里，由外而內，撥動學生思維之弦，讓學生體會到思維的路上風景這邊獨好，這樣方能奏出余音繞梁的動人之音。