蘊(yùn)藏在美妙音樂(lè)中的數(shù)學(xué)奧秘

【摘要】從古至今，音樂(lè)中一直滲透著各種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)和音樂(lè)用不同的方式描述世界，但是二者都能描述和揭示自然界和諧統(tǒng)一的規(guī)律，存在著密切的關(guān)系。本文通過(guò)對(duì)音樂(lè)背后各種數(shù)學(xué)因素的梳理和分析，包括數(shù)列、函數(shù)及數(shù)學(xué)圖形等在音樂(lè)中的應(yīng)用，說(shuō)明數(shù)學(xué)在音樂(lè)中的重要意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);音樂(lè);聯(lián)系

【中圖分類號(hào)】J61? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

說(shuō)到音樂(lè)，大家馬上跟鋼琴、小提琴、交響樂(lè)等藝術(shù)聯(lián)系在一起，通常人們認(rèn)為音樂(lè)是高雅的、有趣的，蘊(yùn)含了豐富的情感和想象。而談到數(shù)學(xué)，讓人想到的就是一個(gè)個(gè)數(shù)字、字母構(gòu)成的的公式、符號(hào)，給人以抽象、枯燥的感覺(jué)，人們通常認(rèn)為音樂(lè)和數(shù)學(xué)處在兩條平行線上，互不相關(guān)，實(shí)際上并非如此。各種美妙悅耳的聲音在自然界是一直存在的，只不過(guò)后來(lái)隨著人類文明和科技的進(jìn)步，各種美妙的聲音譜寫(xiě)成曲，以五線譜等各種符號(hào)譜寫(xiě)出來(lái)，再由各種樂(lè)器彈奏出來(lái)，才有了凄美哀婉的《梁山伯和祝英臺(tái)》、貝多芬宏偉而壯麗的命運(yùn)交響曲。鋼琴和五線譜的巧妙結(jié)合，將大自然中各種美妙的聲響演奏出來(lái)。

數(shù)學(xué)公式和公理與其何其相似，千萬(wàn)年來(lái)，各種公理一直真實(shí)地存在于茫茫宇宙中，等待科學(xué)家來(lái)發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)家家將無(wú)數(shù)有意義的現(xiàn)象抽象和總結(jié)而成為公理和公式，如微積分歷史發(fā)展的里程碑——牛頓-萊布尼茨公式、經(jīng)典力學(xué)的支柱——牛頓第二定律，這些公式敘述極為簡(jiǎn)單，卻可以描述自然界的各種現(xiàn)象，背后的意義極為深刻，就像老子說(shuō)的“大道至簡(jiǎn)”。這些公式真實(shí)而不受時(shí)空的限制，有力地解釋了各種現(xiàn)象，我們不能不贊嘆自然結(jié)構(gòu)的美妙！這是數(shù)千年來(lái)無(wú)數(shù)科學(xué)家智慧的結(jié)晶。

然而，音樂(lè)與數(shù)學(xué)不僅僅有這種自然美的相似之處，兩者之間還有非常密切的聯(lián)系。我們知道，聲音是通過(guò)空氣振動(dòng)傳輸?shù)轿覀兌淅锏模瑥椬鄻?lè)器時(shí)，樂(lè)器部件的振動(dòng)引起了周圍空氣的流動(dòng)，形成了聲波，聲波傳播到我們的耳朵里，我們就聽(tīng)到了各種美妙的音樂(lè)。物理學(xué)中振蕩所激勵(lì)的波叫做正弦波，把正弦波在時(shí)間軸上展開(kāi)，就得到正弦曲線。關(guān)于數(shù)學(xué)和音樂(lè)的關(guān)系，可以追溯到2500多年前，古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家——畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)12個(gè)音律的數(shù)學(xué)關(guān)系，他認(rèn)為宇宙是由聲音和數(shù)字構(gòu)成的。而德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家——萊布尼茨認(rèn)為音樂(lè)的出現(xiàn)雖然是直接的，但音樂(lè)的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)。而科學(xué)家愛(ài)因斯坦說(shuō)的更加有趣：“我們這個(gè)世界可以由音樂(lè)組成也可以由數(shù)學(xué)組成。”音樂(lè)是以音符為基本符號(hào)，構(gòu)建成樂(lè)譜，把自然界的各種聲響用樂(lè)器傳輸出來(lái)。而數(shù)學(xué)是以數(shù)字為基本元素符號(hào)，把自然界各種客觀規(guī)律用公式表達(dá)出來(lái)。說(shuō)到數(shù)字，我們有必要提一下奇妙的斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…… 這個(gè)整數(shù)列有這樣的特點(diǎn)：任何相鄰的三個(gè)數(shù)，其中前兩個(gè)數(shù)之和等于第三個(gè)數(shù)。更為奇妙的是，數(shù)列項(xiàng)數(shù)越靠后，相鄰的兩個(gè)數(shù)中第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的比值就越來(lái)越接近于黃金分割比0.618。眾所周知，黃金分割比是美學(xué)中的重要標(biāo)準(zhǔn)之一，運(yùn)用在建筑、繪畫(huà)、攝影等各個(gè)方面。曾經(jīng)有人分析過(guò)多部音樂(lè)作品，統(tǒng)計(jì)樂(lè)曲的節(jié)數(shù)，驚奇地發(fā)現(xiàn)，很多樂(lè)曲的高潮部分所在的節(jié)數(shù)，非常接近于黃金分割比這個(gè)神奇的數(shù)字，我們不禁要贊嘆自然界的美妙、和諧、統(tǒng)一。驗(yàn)證了數(shù)學(xué)家萊布尼茨的名言“音樂(lè)是數(shù)學(xué)在靈魂中無(wú)意識(shí)的運(yùn)算”。

數(shù)學(xué)在音樂(lè)律學(xué)中的作用也非常明顯。律學(xué)主要是研究音樂(lè)與音律之間關(guān)系的一門學(xué)科，是通過(guò)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行運(yùn)算和實(shí)踐來(lái)發(fā)掘、完善和研究?jī)烧咧g關(guān)系的。我國(guó)明代著名律學(xué)家朱載堉在總結(jié)前人樂(lè)律理論基礎(chǔ)上，運(yùn)用珠算進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，通過(guò)精密計(jì)算和實(shí)驗(yàn)，成功地發(fā)現(xiàn)十二平均律的等比數(shù)列規(guī)律。他討論了等比數(shù)列，找到了計(jì)算等比數(shù)列的方法，并將其成功地應(yīng)用于求解十二平均律。在十七世紀(jì)的歐洲，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)平均律音階的十二個(gè)音調(diào)分布在一條對(duì)數(shù)螺旋線上，對(duì)數(shù)螺旋線被數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利稱之為“神奇螺線”，在數(shù)學(xué)中有非常重要的地位，其優(yōu)美的外形被廣泛應(yīng)用在裝飾圖案中。

除了律學(xué)與數(shù)學(xué)有明顯的聯(lián)系，還有很多奇妙的關(guān)系。現(xiàn)代生物學(xué)研究表明，人耳的敏感程度與聲音頻率大致呈指數(shù)關(guān)系。而我們驚奇地發(fā)現(xiàn)很多樂(lè)器的外形結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)為指數(shù)曲線，比如三角鋼琴的弦和管弦樂(lè)器的管，能彈出和諧樂(lè)聲的樂(lè)器弦長(zhǎng)都能表示成整數(shù)比，這樣科學(xué)合理的設(shè)計(jì)就是為了呈現(xiàn)出更加美妙悅耳的聲音。前面我們提到的正弦波，就單一的聲音來(lái)說(shuō)，可以由一個(gè)正弦函數(shù)來(lái)表示，也稱為“簡(jiǎn)諧波”，音量與該函數(shù)的振幅有關(guān)，音調(diào)與該函數(shù)的頻率有關(guān)，音色則與函數(shù)的形狀有關(guān)。但是單一的聲音元素發(fā)出來(lái)的聲音顯然單調(diào)乏味。人們發(fā)現(xiàn)，很多種元素融合在一起才能形成美妙動(dòng)聽(tīng)的旋律，這就是“復(fù)合波”，是各種不同頻率、振幅及相位元素疊加得到的。比如同時(shí)發(fā)出兩個(gè)音的話，則波形更有規(guī)律，更好聽(tīng)。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，就是兩個(gè)正弦函數(shù)疊加的結(jié)果，新的周期變小，是比值的最小公倍數(shù)。樂(lè)器發(fā)出聲音主要是弦的振動(dòng)，也是引起空氣流動(dòng)而傳入我們耳朵里的。弦的振動(dòng)是18世紀(jì)經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題，當(dāng)時(shí)頂尖的數(shù)學(xué)家如伯努利、歐拉和拉格朗日等都為解決這個(gè)問(wèn)題做出了貢獻(xiàn)，但最終還是由法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉于1822年完美解決。傅里葉的發(fā)現(xiàn)將樂(lè)聲的研究推向頂峰。每個(gè)聲音都包含三個(gè)要素——音調(diào)、音高和音色，利用傅里葉的結(jié)論，可以按照這三個(gè)要素將聲音區(qū)分開(kāi)來(lái)，音調(diào)與曲線的頻率有關(guān)，音高與強(qiáng)弱有關(guān)，音色與周期相關(guān)。傅里葉變換理論思想在于任何穩(wěn)定信號(hào)都是由一些特定頻率和振幅的純正弦波構(gòu)成，利用傅里葉變換挑出每一個(gè)頻率和對(duì)應(yīng)的振幅，忽略掉一些干擾的話，原始信號(hào)就可以被譯為成對(duì)的真實(shí)數(shù)字呈現(xiàn)出來(lái)。更為奇妙的是，通過(guò)逆向的傅里葉變換，我們可以十分精確地再現(xiàn)出原始信號(hào)，現(xiàn)代的數(shù)字音樂(lè)正是按照該原理設(shè)計(jì)的。可以說(shuō)，只要是以音程和音階及其移位作為基本的音樂(lè)理論基礎(chǔ)和創(chuàng)作素材的音樂(lè)作品，都是和數(shù)學(xué)思維緊密相關(guān)的。數(shù)學(xué)的新發(fā)現(xiàn)為現(xiàn)代樂(lè)器的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)合成音樂(lè)也做出了無(wú)可替代的貢獻(xiàn)，很多樂(lè)器制造商通過(guò)對(duì)比發(fā)聲的周期性圖來(lái)進(jìn)行改進(jìn)和調(diào)試樂(lè)器產(chǎn)品。傅里葉變換幾乎出現(xiàn)在所有存在波形的地方，每個(gè)音頻片段，都可以通過(guò)傅里葉變換將音頻波形分解為成分音符并且保存下來(lái)，代替存儲(chǔ)原始波形。傅里葉變換還可以確定一首歌中每個(gè)音符所占的比例，哪些音符是一首歌的基本元素。在學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換時(shí)，大家只覺(jué)得運(yùn)算過(guò)程枯燥無(wú)趣，真的難以想象這些抽象的表達(dá)式為我們聽(tīng)到美妙的音樂(lè)做出了如此大的貢獻(xiàn)。

我們看到在音樂(lè)的制作過(guò)程中，數(shù)學(xué)家和音樂(lè)家起到了同樣重要的作用。數(shù)學(xué)不是孤立的學(xué)科，更不是枯燥無(wú)味的代名詞，千百年來(lái)，數(shù)學(xué)在音樂(lè)中一直發(fā)揮著神奇的作用。隨著現(xiàn)代科技的進(jìn)步，尤其是信息化科技的飛躍發(fā)展，關(guān)于音樂(lè)和數(shù)學(xué)的故事還會(huì)有更多、更美的內(nèi)容等著我們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]趙軍營(yíng).音樂(lè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系研究文獻(xiàn)綜述[J].北方音樂(lè)，2017（19）.

[2]常沁怡.音樂(lè)中的數(shù)學(xué)——淺談音樂(lè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系[J].藝術(shù)科技，2017（6）.

[3]張瓊.趣味數(shù)學(xué)與音樂(lè)的聯(lián)系[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教育理論），2011（9）.

[4]周昌智，毛兆榮譯.馬奧爾（Eil Maor）.e的故事：一個(gè)常數(shù)的傳奇[M].人民郵電出版社，2010.

作者簡(jiǎn)介：王海萍，女，山西平遙，研究方向：高職數(shù)學(xué)教育和隨機(jī)微分方程。