用幾何的眼光看世界

王繼華 劉鮮 吳向東

【摘 要】本文創建了如何結合幾何來開發小學計算思維課程的新途徑。即將真實世界中的物體形狀抽象成幾何圖形，通過點線面等基本幾何圖形的Scratch編程和調用，自動化繪制這些形狀，從而體現抽象和自動化的計算思維過程。

【關鍵詞】計算思維;抽象;自動化;幾何;Scratch編程

【中圖分類號】G434? 【文獻標識碼】A

【論文編號】1671-7384（2019）07、08-016-04

計算思維是深圳市龍崗區A-STEM教育中的一項重要內容。計算思維的關鍵是抽象，即對真實世界化繁為簡，找到本質特征和規律，降低復雜度，建立計算設備可以處理的模型。計算思維能力強的人，抽象的能力也特別強。

由此，我們想到可以用幾何的眼光看世界。世間萬物在外形上雖然千差萬別，但都表現出一定的基本圖形，如點、線、多邊形、圓形等，如旋轉排列的花朵、六角形結構的蜂巢、建筑物門窗排列等等。從這些外形復雜的事物中找出基本形狀及其相互之間的數學關系，就是抽象;隨后通過編程，讓計算機畫出圖形，以逼近真實的形式模擬世界萬物的形狀，這就是計算思維的過程。這些也是日益復雜的計算機圖形學的研究內容。計算機圖形學要用到很深的數學算法，但對于小學生來說，所學的數學知識相當有限，為此，我們嘗試用小學數學中平面幾何的淺顯知識，來開發跨學科的計算思維課程。

對基本圖形的抽象和自動化

小學生的認識水平和幾何知識學習程度，其計算思維的學習也是相當淺顯的，但這并不妨礙他們用抽象的眼光看世界，用自動化的方法去模擬真實世界，在創造中去學習。本課程依托Scratch軟件，設計了如下的基本課程內容。

1.點和線

線條在生活中隨處可見，其中線段是常見的一種。幾何學中，線指的是點通過移動位置構成的圖形，它是幾何圖形最基本的組成部分。

既然線是由點位移構成的，那么就可以通過編程去自動化畫出線。首先，定義一個畫點的積木塊代碼，如圖1所示，這個腳本定義的點是一個出現在舞臺中央位置，大小為畫筆粗細的藍色點。畫線的代碼如圖2所示，它調用畫點的積木塊，移動100步，畫出一條長度為100的線條。在這里，當然還有更加直接的方法，那就是不必定義畫點的積木塊，直接在劃線的代碼中實現。但作為一個好的編程代碼來說，把一些基本的功能定義為積木塊來調用，可以使編程結構化，這是編程的基本思想和要求。

2.面

生活中的幾何線條很少是單調的一條線段，它通常是以多個線條通過組合和變化形成的面出現，例如建筑物的樓梯，如圖3所示。如果以面為單位，樓梯的視覺效果可抽象為由面逐級提升一定高度、縮小一定大小、并左移一定距離形成的逐漸抬高的面;為了獲得更逼真的視覺效果，可以在提升面時留下痕跡，如圖4。做好了這些數學化的抽象，就可以利用Scratch編程畫出樓梯了（圖5）。按照小學生的日常思維習慣，他們會盡量在“造型”中把圖形畫完備，甚至有可能有幾級樓梯就畫幾個高低不同的方塊，然后在舞臺中排列，根本就不用編程。但這有違計算思維的要求：缺少抽象和自動化。再來看圖5的代碼，根據編程結構化的要求，還可以對代碼進一步優化：一是面的繪制由自定義的積木塊來完成，二是逐級提升、變小和位移的數據可以用變量來實現。這些內容可以引導學生來討論，讓他們充分感受到數學抽象和代碼結構化的樂趣。

3.多邊形

建筑物中常常會用到多邊形元素，如三角形、長方形、六邊形等，有的建筑外形中有許多正六邊形。為了降低教學難度，我們把多邊形都當作正多邊形來對待。多邊形的邊即是線，線通過旋轉一定的角度組成正多邊形。正多邊形的不同是由邊長、邊數和角度3個變量決定的，角度又可以通過多邊形的內角和等于360°這個規律來確定，即360除以邊數（這是抽象的過程）。既然如此，從編程的角度定義正多邊形的邊長和邊數兩個參數即可（圖6），修改參數即可畫出不同的正多邊形（圖7）。

自然界中還有許多復雜的形狀，例如蜘蛛網，它可以抽象為多個正多邊形組成的幾何圖形，抽象和編程自動化實現的過程如圖8所示。

正多邊形只是幾何圖形中的一種特殊形式，像平行四邊形、五角星、心形和螺旋圖形都是較為常見的，通過Scratch編程同樣可以繪制出這些圖形，不過比正多邊形稍復雜些而已，也在小學生可以接受的范圍。這些內容可以在學了正多邊形之后，教師帶領學生盡可能自主地探索。

4.圓形與弧形

圓形是真實世界中十分常見的形狀，在幾何圖形中，圓形和正多邊形關系密切，正多邊形的邊數越大，形狀越接近于圓，以正三十六邊形為例，可以推算出正多邊形的邊長N與圓的半徑R之間的關系：N≈2πR/36≈ 0.174R。定義圓的積木塊代碼如圖9所示，不同的圓通過組合可以形成同心圓，同心圓在生活中很常見，如槍靶，它可以通過圖10的代碼去模擬繪制。

除了圓形，真實世界中有還存在著有許多弧形構成的事物，如花朵、葉子、器皿等，由不同的弧形通過變形和組合構成，這些都可以通過Scratch編程來自動化實現。

弧形可以看成是圓形的一部分，所以這里可以借鑒畫圓的方法，減少重復執行的次數，即可畫出弧形。因角度不同又可分為左弧和右弧，以右弧為例，定義右弧的積木塊代碼如圖11所示。其中R代表的是弧對應的半徑長度，a代表弧對應的圓心角的度數，將圓心角為a的右弧向右旋轉180-a，可形成一片葉子，因此定義葉子的積木塊代碼如圖12所示。圖13所畫出的葉子是由半徑為70、圓心角為90°的兩片右弧構成的。

通過圖形探究數學

我們還試圖讓學生通過Scratch來探究數學，上述的例子看起來是在應用數學中的幾何知識，其實也是學習幾何的過程。在數學世界里，對幾何形狀的探究催生了新的數學思想，比如分形。要讓小學生借助幾何編程來探究數學是困難的，但也不是不可能。比如在繪制正多邊形時，如圖15，從左下角畫正三角形開始，不斷增加邊數，當邊多到一定程度時，正多邊形越來越趨近于圓，這就是極限的思想。

計算思維與幾何的結合有著天然的優勢，特別是借助Scratch編程軟件。學生在學了這些內容后，看世界的方式就不一樣了。滿世界都會成為有規律可循的由基本圖形構成的豐富多彩的變化，這就是計算思維能力得到發展的表現，是我們最期望看到的課程學習的成效。同時，對真實世界各種事物的觀察、分析、抽象和自動化實現，美育蘊含其中，使得A-STEM中有關人文的跨學科概念得到一定程度的落實，使學生在獲得計算思維硬技能的同時，欣賞美、創造美等軟技能也得到發展。

作者單位：廣東深圳市龍崗區平安里學校? 廣東深圳市龍崗區寶龍學校? 廣東深圳市龍崗區依山郡小學