有限與無限思想

姜楚華

數學研究的對象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運動的，可以是有限的或無限的，它們之間是矛盾的對立統一。對有限的研究往往先于對無限的研究。對有限個研究對象的研究往往有章可循，并積累了一定的經驗，而對無限個研究對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經驗不足，于是將對無限的研究化成對有限的研究，就成了解決無限問題的必經之路。反之，當積累了解決無限問題的經驗之后，可以將有限問題轉化成無限問題來解決。這種無限化有限、有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限思想。

小學數學里有些問題不是通過初等數學的方法解決的，如圓的面積無法直接按照求長方形面積的方法來計算。我國古代數學家劉徽為了計算圓的面積和圓周率，曾經創立了“割圓術”。具體做法是：先作圓的內接正六邊形，再作內接正十二邊形……隨著邊數的不斷增加，正多邊形越來越接近于圓，那么它的面積和周長也越來越接近于圓的面積和周長。劉徽在描述這種做法時說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。也就是說，隨著正多邊形的邊數無限增加，圓內接正多邊形就轉化為圓。這種思想就是一種極限思想，即用無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢的思想。

小學數學中還滲透著既對立又統一的辯證思維，如加與減、乘與除是學生非常熟悉的辯證關系。有限與無限思想中也滲透著有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關系。我們知道，多邊形的面積直接用公式就可以計算出來，但如果其中有的邊改成曲邊，就無法直接用多邊形的面積公式計算，而要用定積分來求了。如：計算曲邊梯形（直角梯形的斜邊是曲邊）的面積，就是先把曲邊梯形平均分成[n]個小曲邊梯形，在每個小曲邊梯形里取一個最大的小矩形，這時[n]個小矩形的面積接近于[n]個小曲邊梯形的面積的和。當[n]越來越大時，小矩形的面積和就越來越接近于相應的曲邊梯形的面積;當[n]趨向于無窮大時，如果極限存在，記作[S]，最后[S]就等于所有的小曲邊梯形的面積的和了，那么就得到了曲邊梯形的面積是[S]。這是從有限的曲邊梯形的面積中找到無限個小矩形的面積，再從無限個小矩形的面積的無限變化中回歸到曲邊梯形的有限的面積的過程，體現了有限與無限、曲與直相互轉化的辯證思想。

有限與無限思想在小學數學中的應用和滲透，主要體現在以下幾點。

首先，在數的認識中體會有限與無限的思想。小學生從一年級開始就認識自然數0、1、2、3……同時知道每個自然數加1就等于它的后繼數。到了認識億以內的數時，進一步知道了最小自然數是0，沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。也就是說，任意給定一個足夠大的自然數N，只需要把它加1，就會得到一個更大的自然數[N]+1，[N]+1>[N]，所以總是找不到一個最大的自然數。由此可以推廣到奇數、偶數、一個數的倍數、兩個數的公倍數等都沒有最大的，都有無限多個。在學習分數的基本性質時，學生知道分母不同、分數值相等的分數有無限多個。在學習小數時，首先認識的是有限小數，然后認識無限循環小數，還知道圓周率是無限不循環小數。

其次，在數的計算中體會有限與無限思想。小學數學學習的數的計算一般都是經過有限的幾步計算就可以解決的問題。作為知識的拓展，可適當介紹一些無限多個數相加的問題，如在數形結合思想中介紹無窮多個分數相加的問題。我國古代思想家莊子曾說過“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。這句話可用下面的數學語言來描述，長度為單位1的線段，第一天取走全長的一半，以后每天取走剩下的一半，永遠有剩余。用無窮等比遞縮數列的和來表示取走的長度，就是數形結合思想中的案例。另外，循環小數化分數的問題，也可以利用極限思想和數形結合思想來計算。

其三，在認識圖形時滲透無限的思想。與自然數列的趨向無窮大類似，有些圖形也具有無限長的特性，如直線、射線、角的邊、平行線等，都具有無限延伸的特性，可以滲透無限的思想。

最后，在圓的面積、圓柱的體積的計算中滲透極限思想。如上所述，在小學數學中，圓的面積不能像求長方形的面積那樣直接利用公式計算，圓柱的體積不能像長方體那樣直接利用公式計算。利用有限與無限思想可以解決這些問題，如計算圓的面積時，先把圓平均分成若干等份，拼成近似的長方形，但它還不是長方形，仍然無法直接按照求長方形面積的方法來求，因為一個圓不論進行怎樣細小的有限次的分割拼補，都無法真正拼成一個長方形。這時，只有借助極限思想，把圓分割得越細小，所拼成的圖形就越接近于長方形。這樣無限地分下去，拼成的圖形面積就越趨向于長方形的面積。最后，通過取極限來得到它的面積。這是有限與無限思想在小學數學中最完美的體現。也就是說，極限思想是這樣操作的理論基礎和計算精確性的保證。

有限與無限的概念是抽象的、辯證的，在教學中應注意下面的問題。

一是要準確把握有關有限與無限的一些概念、教學要求和解題方法。有限與無限思想是用無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢的思想理解這句話要抓住兩個關鍵語句：一個是變化的量是無窮多個，另一個是無限變化的量趨向于一個確定的常數，二者缺一不可。如：自然數列是無限的，但是它趨向于無窮大，不趨向于一個確定的常數，因而自然數列沒有極限。教學中要讓學生體會無限，更重要的是通過具體案例讓他們體會無限變化的量趨向于一個確定的常數，而有限與無限思想以及在此基礎上定義的導數、定積分是解決用函數表達的現實問題的有力工具。有限與無限是辯證思維的一種體現，要辯證地看待二者的關系，不要用初等數學的“有限的”眼光看“無限的”問題，要用極限思想看無限，極限方法是一種處理無限變化的量的變化趨勢的有力工具。換句話說，當我們面對無限的問題時，就不要再用有限的觀點來思考，要進入無限的狀態。

二是對循環小數和無限不循環小數的理解和表示也體現了有限與無限的辯證關系。我們知道，在中學數學里一般用整數和分數來定義有理數，用無限不循環小數來定義無理數，有理數和無理數統稱為實數。有理數包括整數、有限小數和循環小數。整數和有限小數化成分數是學生非常熟悉的，循環小數怎樣化成分數呢？我們以前曾經介紹過用方程的方法可以解決這一問題。下面我們再用有限與無限思想來解決。

例如：把循環小數0.999…化成分數。0.999…是一個循環小數，它的小數部分的位數有無限多個。對于小學生來說，能夠接受的方式是通過數形結合的方法，構造一個直觀的幾何圖形來描述極限思想。先看數列0.9，0.09，0.009……我們可以用數形結合的思想，把這個數列用線段構造如下：把一條長度是1的線段，先平均分成10份，取其中的9份;然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份所有取走的線段的長度是0.9+0.09+0.009+…=0.999…如此無限地取下去，剩下的線段長度趨向于0，取走的長度趨向于1，根據極限思想，可得0.999…=1。

對于教師而言，光有有限與無限思想的滲透是不夠的，還需要進一步理解如何用極限方法來解決。這是一個無窮等比遞縮數列的求和問題，根據公式可得0.9+0.09+0.009+…=0.9÷（1-0.1）=1，所以0.999…=1。也許有的老師會認為，無限循環小數的位數是無限的，永遠小于1。這是一種錯誤的認識，出現這種錯誤的原因是用有限的觀點來看待無限。這樣的問題在數學上應該用極限的方法來解決，因為這是一個無窮等比遞縮數列求和的問題，即前[n]項的和（當[n]趨向于無窮大時）的極限為1，所以上面數列的和是1。這時有的老師可能又會認為，極限是1，數列的和是1，就是一定能取完。這種觀點也只說對了一半，也就是說用極限1作為數列的和是對的，但是原因說得不十分準確。如上所述，極限的概念里沒有說變化的量最后是否一定達到1，只需要當[n]足夠大時，與1的距離要多小就有多小就足夠了。通俗地說，在數軸上，你可以先任意取一個很小的正數ε，針對這個ε，只要找到一個正整數[N]，[N]+1以后的每一項都會落在區間（1-ε，1+ε）里，也許這里的每一項與1還有一點點距離，但是已經不重要了，已經不影響極限的數學游戲規則了，也就是不影響數列的和的取值了。

這個例子進一步說明，極限方法只關注一個無限的變化過程的確定趨勢是什么，只要趨勢確定并且符合極限的定義，那么這個無限變化的過程的結果就用極限來表示。它就是一個解決問題的方法而已，只要符合極限的規則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程和結果，它并不關心這個無限變化的過程何時能到達極限，它本質上不同于有限個數的和。

有限與無限思想在小學數學中有一定的應用，但只是滲透而已，并不讓學生認識相關概念，所以要準確把握教學要求，不要增加學生的學習負擔。

中學數學教學中也有很多地方蘊含著有限與無限思想。例如教學“數列”時，可以設計如下問題：已知數列{an}滿足a1=a，an+1=1+[1an]。我們知道，當a取不同的值時，得到不同的數列，如當a=1時，得到無窮數列1，2，[32]，[53]……當a=[-12]時，得到有窮數列[-12]，-1，0。（1）當a為何值時，a4=0。（2）設數列{bn}滿足b1=-1， bn+1=[1bn-1]（[n∈N+]），求證a取數列{bn}中的任一個數，都可以得到一個有窮數列{an}。（3）若[32<][an<2]（[n≥4）]，求a的取值范圍。

上述問題綜合交匯，設計立意新穎、視角獨特，充分體現了有限與無限的思想。如：對于問題設計中的遞推關系，由于所給出的初始條件不同，得到的數列也不同，并在問題中舉出了具體的例子;第（2）問則可以通過有限次試驗，得到對無限個[bn]都可以得到一個有窮數列[an]的猜想，再用數學歸納法進行證明;第（3）問是通過有限次分析求的對無限個[n]都成立的結果。

有限與無限思想往往隱身在其他數學思想和方法使用的過程中。例如，使用由特殊到一般的歸納思想時，含有有限與無限的思想;使用數學歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現的是有限與無限的思想，等等。客觀世界是有限與無限的統一體，我們既可以通過有限來把握無限，也可以借助無限來確定有限，數學歸納法、數列極限、函數極限等都是由有限把握無限的極好例證。