有限與無限思想

姜楚華

數學研究的對象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運動的，可以是有限的或無限的，它們之間是矛盾的對立統一。對有限的研究往往先于對無限的研究。對有限個研究對象的研究往往有章可循，并積累了一定的經驗，而對無限個研究對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經驗不足，于是將對無限的研究化成對有限的研究，就成了解決無限問題的必經之路。反之，當積累了解決無限問題的經驗之后，可以將有限問題轉化成無限問題來解決。這種無限化有限、有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限思想。

小學數學里有些問題不是通過初等數學的方法解決的，如圓的面積無法直接按照求長方形面積的方法來計算。我國古代數學家劉徽為了計算圓的面積和圓周率，曾經創立了“割圓術”。具體做法是：先作圓的內接正六邊形，再作內接正十二邊形……隨著邊數的不斷增加，正多邊形越來越接近于圓，那么它的面積和周長也越來越接近于圓的面積和周長。劉徽在描述這種做法時說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。也就是說，隨著正多邊形的邊數無限增加，圓內接正多邊形就轉化為圓。這種思想就是一種極限思想，即用無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢的思想。

小學數學中還滲透著既對立又統一的辯證思維，如加與減、乘與除是學生非常熟悉的辯證關系。