基于數學基本活動經驗積累的教學研究

顧君

[摘? 要] 文章以“三角尺拼角”一課為例，進行了有效積累數學基本活動經驗途徑的教學研究. 筆者基于數學基本活動經驗積累的課堂教學實踐與思考，從四個層面來探究數學實驗在初中數學課堂教學中的活動經驗積累.

[關鍵詞] 數學基本活動經驗;數學實驗;三角尺拼角

數學基本活動經驗既是學生在數學活動中直接獲得的經驗，也是學生在不斷思考和反復探究之后提煉的個人認知，其最高層次為形成數學的直觀能力. 因此，幫助學生積累數學基本活動經驗是教師進行教學的重要目標之一. 而數學實驗作為積累數學基本活動經驗的有效載體，近年來已成為一個熱門的研究話題. 筆者以七上《初中數學實驗手冊》中的“三角尺拼角”一課為例，從經驗激活、經驗積累、經驗遷移和經驗升華四個層面來探究數學實驗在初中數學課堂教學中活動經驗積累的設計與思考.

師：這位同學講得非常好. 用三角尺拼角包含兩種方法，一種是“拼”，另一種是“疊”. 這里的“拼”就是數學上的“補”，“疊”就是“割”，合起來就是“割補”. 那我們如何拼，才能使結果既不重復又不遺漏呢？

生3：可以先固定一塊三角板的一個角，然后用另一塊三角板的角去拼.

師：這位同學是從拼三角尺——“形”的角度來分析的. 那還有其他的方法嗎？

生4：可以將兩塊三角板的角度進行“加”或者“減”.

設計意圖對于活動1，學生通過對三角尺已有角的認識，激活了已有知識經驗，為積累更高層次的活動經驗做準備. 此階段學生對角的認識是直觀的、未經提煉的、與操作緊密相關的淺層次活動經驗. 此時，教師可引導學生對已有經驗進行觀察、猜想、歸納和內化，形成較有條理的數學活動經驗：①割補思想：“拼”與“疊”對應幾何中的“補”與“割”. ②數形結合思想：“拼”與“疊”的過程對應著角度之間的“加”與“減”. ③拼角有兩種方法：一種是從圖形上來研究;另一種是從角度上來研究. “拼角”的本質是“拼角度”.

2. 兩副三角尺拼角：積累活動經驗

活動2的教學片段如下.

師：接下來，用兩副三角尺，我們還能拼得哪些角呢？

生1：如圖7.

師：如果用三副三角尺，還能得到其他的角嗎？

生（眾）：不能.

師：觀察三角尺所拼得的這些角，它們之間有何共同特點？

生（眾）：角度都是15°的整數倍.

師：如果將15°作為一個模板，那么0°～180°之間15°的整數倍角都可以由此模板畫出.

設計意圖學生在活動2中進行了思考、總結和內化，積累了相關的活動經驗，但是系統的經驗很難在一次操作過程中獲得. 假如經歷多次反復操作、探究過程，學生會對已有的活動經驗進行再積累和完善，從而逐漸形成概括性的經驗：①用兩副三角尺拼角，還可以拼出一個新的角度——165°，但用三副或多副三角尺進行拼角，并不能拼得其他角度;②從結果上分析，發現拼得的角都具備共同的特征——均為15°的整數倍角，因此將15°作為模板能畫出15°的整數倍角.

3. 借助模板畫角：遷移活動經驗

活動3的教學片段如下.

數學活動經驗的遷移能力是學生的一種創新能力，即在原有活動經驗的基礎上再次遇到類似的情景，將已有數學活動經驗遷移應用于類似情景，產生新的認識經驗，按照這種模式，重復使用這種經驗，形成系統的經驗. 活動3用含17°和19°的模板，通過活動經驗的遷移，發現不僅能畫出偶數角，還能畫出奇數角. 此時，教師引導學生思考畫出的角度和給定模板之間的關系，歸納出“15是30和45的最大公因數，1是17和19的最大公因數”. 由特殊情況推廣到一般，即給定兩個角的模板，求兩個角的度數的最大公因數，以這個最大公因數的角度作為新的模板，可以畫出其任意整數倍角，這個過程就是“經驗遷移”的過程.

4. 畫角方案設計：升華活動經驗

活動4的教學片段如下.

設計意圖經歷前面活動經驗的激活、積累和遷移，活動4是對此前積累的活動經驗的應用和升華. 如果給定m°和n°的模板，本質上是求這兩個度數（m和n）的最大公因數，所畫出的角就是這兩個度數的最大公因數的整數倍角. 由此，如果給定3個角、4個角乃至多個角的模板，通過角度之間的加減與倍數關系，所能畫得的角就是這些角的最大公因數的整數倍角. 教師通過引導，將學生已有的數學活動經驗進行升華，長此以往，形成數學直觀.

1. 經歷經驗激活到經驗升華，積累實踐活動經驗

實踐經驗主要是從客觀世界中抽象出來的，是通過動手操作從數學活動中獲得經驗，并將所獲的相關經驗應用于解決實際問題. 在整個活動過程中，學生根據已有對角的認知，激活了原有的經驗. 學生還在反復操作活動過程中歸納、思考和內化，形成了概括性的經驗，發現了三角尺拼角的一般規律. 教師則通過引導學生將已有活動經驗遷移到類似的問題中，以解決模板畫角問題，并對之前所獲得的一般性規律進行推廣和總結. 這種學習方式，不是讓學生被動接受教科書上的現成結論，而是鼓勵學生從自己已有的“數學經驗”出發，變“聽數學”為“做數學”，變“看演示”為“動手操作”，變“機械接受”為“主動探究”，培養學生的動手操作能力、解決問題的能力和創新精神，積累實踐活動經驗.

2. 經歷無序認識到有序認知，積累思維活動經驗

思維活動經驗是將實際問題進行數學化和符號化，并在符號化的過程中積累活動經驗. 從認識的過程來說，直觀感受是在事物的作用下，學生在頭腦中形成的感性知識. 盡管直觀感受只能形成感性知識，但它卻是思維的起點，是感性知識轉化為理性認知的開端. 學生在本實驗中已有的認識是三角尺本身具備的一些特征，此類經驗很大一部分是數學活動現象或者直觀結果，是比較粗糙、模糊和無序的認識，受個人的主觀意識和活動情景影響比較大. 學生在思維層面通過思考，發現其實“拼角”就是在“拼角度”，“拼角”是操作層面的認識，而“拼角度”已經上升到了思維層面，角度的加減或者倍數關系是拼角的符號化表達. 因此，在用模板畫角的過程中，從操作層面理解已經有所局限，此時需要從思維層面進行再認識，通過歸納總結得到結論. 學生在探究活動過程中從無序的結果入手，經過探究、思考、歸納和內化，形成思維上的有序認知，并積累思維活動經驗.

本節課從特殊入手，嘗試探索、歸納一般規律或結論，借助演繹推理驗證一般規律. 這個過程能讓學生感悟數學基本活動經驗積累的思維模式，長此以往，能形成數學直觀，達到數學基本活動經驗積累的最高層次.