凸顯思維過程，感悟基本策略

徐強

[摘? 要] 在動態幾何問題的解題教學中，模型不在于記，在于思;策略不在于給，在于悟;題目不在于多，在于變. 關鍵是如何讓學生從圖形與數量的變化中認清此類問題的本質特征，真正把握其基本解決路徑與策略.

[關鍵詞] 動態幾何;解題教學;策略提煉;教學啟示

縱觀各地中考試題，動態幾何問題往往為命題者所青睞，該類問題一般以點、線、面的運動為基礎，給出運動產生的一個或多個變量，要求學生分析幾何變量之間的關系以及圖形運動情況，包括線段長度、角的大小、圖形形狀、面積、周長等變化規律，主要考查學生“動中分析，靜中轉化”的能力. 教學中，如何讓學生從圖形與數量的多變中認清此類問題的本質特征，真正把握其基本解決路徑與策略，是值得我們關注和思考的. 下面筆者僅以近期進行的一次“直線形運動”解題教學指導課為例，談談自己的做法與思考，供大家一起研討.

過程呈現與分析

例題? 如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5 cm，BC=8 cm，直線EF⊥BC（點E與點B重合），若直線EF沿直線BC以1 cm/s的速度向右平移至點C結束.假設t s后，直線EF掃過△ABC的面積為S，求S與t的函數關系式.

1. 直觀感知，感受運動過程

問題驅動：你能借助數學工具，將此運動過程直觀演示出來嗎？并說明運動中的特殊位置.

設計分析：體會運動過程，表示運動變化中的相關量，是解決問題的關鍵所在. 學生之所以不易掌握動態問題，關鍵是學生不能直觀發現運動過程中，圖形或者相關量的隱性變化. 因此，對于直線，引導學生不妨借助數學工具——直尺，利用它的平移，演繹運動的過程，發現運動變化中的圖形或相關量變化的臨界位置. 本例通過直尺的平移，可以發現直線EF掃過△ABC的過程中，掃過圖形的形狀發生了變化，由三角形變為四邊形，臨界的位置為直線EF經過點A（如圖2）.

2. 化動為靜，突破思維節點

問題驅動：根據運動中的特殊位置，t的取值如何分類？并畫出分類中存在的一般性圖形.

設計分析：動態問題轉化為靜態問題，即“動中分類，靜中突破”是基本策略. 學生通過前面的直觀感知，很快確定了t的取值范圍：（1）0≤t≤4;（2）4

3. 規范解答，反思關鍵步驟

問題驅動：請完整、規范地寫出求解過程，并思考解決此類問題的一般策略.

設計分析：“規范”是教學中不可忽視的環節. 一方面學生在考試中“會而失分”的現象屢見不鮮，原因之一是日常教學中的規范書寫過程強化不夠;另一方面，重視“規范”可以引導學生從“快思”走進“慢想”，進一步想透關鍵步驟，培養有條理的思維能力，內化基本策略. 本例“題后思策略”的關鍵步驟為：（1）根據已知的等腰三角形，可求出tanB=tanC=;（2）如圖3，當0≤t≤4時，BE=t，則GE=t，S=t2;（3）如圖4，當4

策略提煉與反思

1. 借助直尺，找臨界

動態問題的關鍵是讓學生的思維直觀化，其基礎是運動直觀化. 由于是直線平移，因此充分利用好學生手中的工具，有利于形成幾何直觀，即運動過程中，相關幾何元素位置、大小，有的發生改變，有的保持不變. 這也容易讓學生發現運動之后產生的新元素與原有元素之間的對應關系，進而可以確定變化前后的臨界位置是什么，為后續解決問題提供有力的幫助.

2. 分類畫圖，靜中求

在發現直線平移過程中的變化規律以后，通過呈現不同階段的代表圖形，讓動態問題轉化為靜態問題，借助靜態圖形，可以讓學生更清楚地找到線段之間、角之間或者線段與角之間的數量關系，從而達到順利解題的目的.

3. 問題延續，再探究

動態問題的考查角度常與面積、幾何圖形的存在性等有關，在研究的過程中，可以滲透不同的考查角度，形成一題多變，有效增強學生的發現與變通能力.

如本例，筆者引導學生生成了“題中巧變式”的問題：

（1）當t為何值時，△AEC是等腰三角形？

（2）把△BGE沿直線EF翻折（點G為EF平移過程中與AB或AC的交點），其與四邊形AGEC重疊部分的面積為S′，求S′與t的函數關系式.

教學啟示與思考

1. 追根溯源，增進體驗過程

模型不在于記，在于思. 教學中教師要注重追根溯源，啟發學生如何思考，引領學生在轉化中成長智慧，讓學生在引導下將已有經驗與有待解決的問題對接，并實現有效突破. 在“變中尋不變”的問題中，如何驅動學生自主經歷探究規律的發現過程，進而加深對“理清動”的體驗理解，尋找媒介是最有效的辦法. 本例中我們借助了直尺，實際上在分析問題的過程中，如果發現不變的角或線段，我們也可以形成固定圖形的運動，也能分清情況，解決問題. 如上述問題延續（2）中，BG翻折之后，與直線BC的夾角始終保持不變，可以通過形狀不變的圖形向右滑動，同樣能夠讓學生直觀感知.

2. 串聯整合，關注題后反思

策略不在于給，在于悟. 教學中要注重串聯整合，增進學生自我反思，引領學生在有序思考中積累經驗. 在“題后思策略”的問題中，驅動學生即時反思分析與解決問題的過程，積累“悟透法”基本經驗. 如本例的分析中串聯整合的“三部曲”演繹，可以讓學生形成基本思維的歷程，可以讓學生感悟靜態下的問題解決無非是尋找邊、角之間的一種聯系、一種表示，強化了學生的解題策略，積累了數學學習的經驗.

3. 增添視角，引發深度學習

題目不在于多，在于變. 教學中要注重增添視角，引導學生進行條件、結論等變式，使問題在變化中引領學生遷移內化. 如本例在“題中巧變式”的問題中，引發學生研究問題的延伸，形成“遷移法”的應變能力. 從中考命題的視角，滲透不同的考查方向，真正實現從一題走向一類，達到減負增效的效果. 當然，在變化的過程中，更能夠從方法路徑、策略比較中讓學生悟出其中的真諦.

總之，數學學習不能單純依賴記憶與模仿，更需要體驗與感悟. 平時的解題教學過程，不能就題論題，要關注知識的“生長點”和“延伸點”，關注思維過程與方法，突出經驗與反思，讓學生在經歷中發現規律，從積淀中彰顯魅力！當然，這也要求教師在平時要關注同類問題的收集與研究，如此才能把握問題本質，信手拈來.