對(duì)一道拋物線綜合題的思路突破與思考

羅曉峰

[摘? 要] 以拋物線為載體考查學(xué)生信息提取和轉(zhuǎn)化的能力、數(shù)學(xué)模型構(gòu)建能力的綜合類考題成為近幾年中考的壓軸題之一. 該類考題一般涉及眾多的知識(shí)點(diǎn)，問(wèn)題類型多樣，如基本點(diǎn)和函數(shù)解析式的求解，以及復(fù)雜度較高的存在性問(wèn)題，前者只需要考生按照基本的解題步驟解決即可，而后者就需要對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)有充分的認(rèn)識(shí). 文章對(duì)一道拋物線綜合題展開思路探析與解后思考，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議供讀者參考.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;存在性;定理;轉(zhuǎn)化;模型

考題呈現(xiàn)

試題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）若某拋物線的圖像經(jīng)過(guò)A，B，O三點(diǎn)，試求該拋物線的解析式.

（3）（2）問(wèn)所求的拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)C，使得以B，O，C為頂點(diǎn)的△BOC的周長(zhǎng)最小？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（4）若點(diǎn)P是（2）問(wèn)所求拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且該點(diǎn)位于x軸下方，試分析以P，A，B為頂點(diǎn)的△PAB的面積是否存在最大值. 如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAB的最大面積;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路突破

1. 第一步：巧借性質(zhì)，構(gòu)建模型

對(duì)于第（1）問(wèn)，要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，首先要理解點(diǎn)B獲得的過(guò)程. 考慮到OB是由線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到的，因此需要充分利用幾何旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的模型. 過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖2，則求點(diǎn)B的坐標(biāo)實(shí)際上就是求線段OM和BM的長(zhǎng). 由線段旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OA=OB=2，又∠AOB=120°，所以∠BOM=60°. 在Rt△OBM中使用三角函數(shù)，得OM=OB·cos60°=1，BM=OB·sin60°=，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，）.

2. 第二步：待定系數(shù)，常規(guī)求解

第（2）問(wèn)求經(jīng)過(guò)A，B，O三點(diǎn)的拋物線的解析式，一般需要將其設(shè)為y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c是拋物線的特征參數(shù). 從方程角度思考，要求未知數(shù)a，b，c，需要構(gòu)建相應(yīng)的方程組，進(jìn)一步分析，則需要得到拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo). 已知該拋物線經(jīng)過(guò)A，B，O三點(diǎn)，所以可以分別將其坐標(biāo)代入. 將原點(diǎn)O的坐標(biāo)代入解析式，可求得c=0，再將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，可構(gòu)建方程組4a-2b=0，

3. 第三步：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化，定理突破

第（3）問(wèn)是在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的點(diǎn)存在性問(wèn)題探討，該問(wèn)有兩個(gè)關(guān)鍵條件需要處理：一是點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，其橫坐標(biāo)必然為一定值，設(shè)點(diǎn)時(shí)應(yīng)充分利用;二是要確保△BOC的周長(zhǎng)最小，這需要構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題.

易求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x= -1，于是設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，yC）. 對(duì)于△BOC，邊OB為定值，則要使△BOC的周長(zhǎng)最小，就必須確保CO+CB的值最小，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段和的最小值. 對(duì)于該問(wèn)，可以借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理來(lái)求解，即在對(duì)稱軸的另一側(cè)構(gòu)建與CO等長(zhǎng)的線段. 已知點(diǎn)A和點(diǎn)O關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，又點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，所以O(shè)C=CA. 于是問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求BC+CA的最小值. 因此，當(dāng)A，C，B三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)（如圖3），BC+CA取得最小值. 連接AB，AB與直線x=-1的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)C. 設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y=kx+m（k≠0），將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，聯(lián)立方程可得-2k+m=0，

4. 第四步：面積割補(bǔ)，代數(shù)分析

第（4）問(wèn)的點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分析△PAB的面積是否存在最大值，首先需要設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后相應(yīng)地構(gòu)建△PAB的面積模型，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)參數(shù)的二次函數(shù)，然后通過(guò)研究二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)分析面積的最值.

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P. 根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，

解后反思

1. 關(guān)鍵步驟的分析

從問(wèn)題類型來(lái)看，上述考題的第（3）（4）問(wèn)均屬于最值存在性問(wèn)題，解題突破時(shí)，均存在幾個(gè)關(guān)鍵步驟. 第（3）問(wèn)求三角形周長(zhǎng)的最小值，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式可知，該問(wèn)題實(shí)際上就是求線段和的最小值，解題需要構(gòu)建線段和的最小值模型，解題的關(guān)鍵一步就是基于幾何定理分析線段的最小值. 而第（4）問(wèn)分析三角形面積的最大值，以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，對(duì)于該類問(wèn)題，需要結(jié)合代數(shù)進(jìn)行分析. 考慮到三角形為一般三角形，因此突破該問(wèn)的關(guān)鍵步驟有兩個(gè)：一是如何構(gòu)建三角形的面積模型——割補(bǔ)法，二是如何分析最值問(wèn)題——函數(shù)性質(zhì).

2. 存在性問(wèn)題的策略

近幾年的中考?jí)狠S題越發(fā)注重考查學(xué)生的綜合思維，以動(dòng)點(diǎn)為背景的存在性問(wèn)題是其中的一類，該類考題一般為分析滿足某種條件的情形是否存在，如上述求三角形的周長(zhǎng)最小值和面積的最大值. 問(wèn)題一般分為兩類：一類是肯定性問(wèn)題，另一類是否定性問(wèn)題，本考題就屬于肯定性問(wèn)題. 對(duì)于肯定性問(wèn)題，一般存在三種解題策略：一是直接由條件入手，逐層突破，試求滿足條件的問(wèn)題情形;二是假設(shè)結(jié)論存在，然后根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)公式、定理，構(gòu)建相應(yīng)的問(wèn)題模型，采用推理演繹的方法加以論證;最后一種則是采用反證法，假設(shè)所要分析的對(duì)象不存在，然后對(duì)其加以否定淘汰，從而證明結(jié)論. 上述三種方法并不是完全獨(dú)立的，有時(shí)也可以結(jié)合起來(lái)綜合推理，如上述考題第（4）問(wèn)就采用首先假設(shè)動(dòng)點(diǎn)存在，然后由條件出發(fā)構(gòu)建面積模型，進(jìn)而論證動(dòng)點(diǎn)存在的方式. 因此，在后續(xù)解析動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題時(shí)，要充分利用已知條件，采用合理的解題策略來(lái)突破.

教學(xué)建議

1. 辨識(shí)考題，合理轉(zhuǎn)化

以拋物線為載體的存在性考題是中考數(shù)學(xué)壓軸題的典型問(wèn)題之一，該類考題需采用合理的解題策略逐層剖析，合理轉(zhuǎn)化，因此在審題階段準(zhǔn)確定位考題類型十分重要，其是后續(xù)解析、轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ). 在教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生掌握考題辨識(shí)的方法，按照“條件解讀→圖形繪制→問(wèn)題分析”的步驟來(lái)充分認(rèn)識(shí)考題，尤其要在對(duì)條件和問(wèn)題的辨識(shí)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)提取其中的關(guān)鍵詞，從中提煉出具有鮮明代表的詞匯，如“是否”“存在”“若”等. 一般存在性考題的綜合性很強(qiáng)，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行充分轉(zhuǎn)化，如上述利用數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)換幾何周長(zhǎng)、面積，利用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化面積等，因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，充分理解數(shù)學(xué)的公式、定理，并靈活運(yùn)用，從而幫助學(xué)生獲得破題的方向和轉(zhuǎn)化的方法.

2. 善構(gòu)圖形，充分思考

拋物線存在性問(wèn)題的一個(gè)典型特點(diǎn)是考題一般與圖形緊密聯(lián)系，這是因?yàn)槔脠D形不僅可以直觀地呈現(xiàn)考題條件，還可以通過(guò)圖形的閱讀來(lái)考查學(xué)生的讀圖能力. 而對(duì)于考生來(lái)說(shuō)，充分利用考題圖像，構(gòu)建相應(yīng)的解題模型，則成為考題突破的重要環(huán)節(jié)，這也是該類綜合題突破的難點(diǎn)所在. 在初中階段，數(shù)形結(jié)合分析考題主要有三個(gè)角度：一是以數(shù)馭形，二是以形助數(shù)，三是數(shù)形互通. 在解題教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將其分為三個(gè)階段：首先，充分讀取題干條件，根據(jù)條件信息繪制相應(yīng)的圖像，然后結(jié)合圖像進(jìn)一步分析考題，充分挖掘其中的隱含信息，最后采用數(shù)形對(duì)照的方式來(lái)轉(zhuǎn)化考題，構(gòu)建相應(yīng)的解題思路. 在上述解題過(guò)程中，學(xué)生的思考邏輯極為重要，要引導(dǎo)學(xué)生掌握利用圖像信息進(jìn)行思考推演的方法，掌握?qǐng)D像模型構(gòu)建的基本策略.