對一道拋物線綜合題的思路突破與思考

羅曉峰

[摘? 要] 以拋物線為載體考查學生信息提取和轉化的能力、數學模型構建能力的綜合類考題成為近幾年中考的壓軸題之一. 該類考題一般涉及眾多的知識點，問題類型多樣，如基本點和函數解析式的求解，以及復雜度較高的存在性問題，前者只需要考生按照基本的解題步驟解決即可，而后者就需要對問題結構有充分的認識. 文章對一道拋物線綜合題展開思路探析與解后思考，并提出相應的教學建議供讀者參考.

[關鍵詞] 拋物線;存在性;定理;轉化;模型

考題呈現

試題 如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），線段OA繞原點O順時針旋轉120°，得到線段OB.

（1）求點B的坐標.

（2）若某拋物線的圖像經過A，B，O三點，試求該拋物線的解析式.

（3）（2）問所求的拋物線的對稱軸上是否存在一點C，使得以B，O，C為頂點的△BOC的周長最小？如果存在，請求出此時點C的坐標;如果不存在，請說明理由.

（4）若點P是（2）問所求拋物線上一個動點，且該點位于x軸下方，試分析以P，A，B為頂點的△PAB的面積是否存在最大值. 如果存在，請求出此時點P的坐標和△PAB的最大面積;如果不存在，請說明理由.

思路突破

1. 第一步：巧借性質，構建模型

對于第（1）問，要求點B的坐標，首先要理解點B獲得的過程. 考慮到OB是由線段OA繞點O順時針旋轉120°得到的，因此需要充分利用幾何旋轉的性質來構建相應的模型. 過點B作BM⊥x軸于點M，如圖2，則求點B的坐標實際上就是求線段OM和BM的長. 由線段旋轉的性質可知，OA=OB=2，又∠AOB=120°，所以∠BOM=60°. 在Rt△OBM中使用三角函數，得OM=OB·cos60°=1，BM=OB·sin60°=，所以點B的坐標為（1，）.

2. 第二步：待定系數，常規求解

第（2）問求經過A，B，O三點的拋物線的解析式，一般需要將其設為y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c是拋物線的特征參數. 從方程角度思考，要求未知數a，b，c，需要構建相應的方程組，進一步分析，則需要得到拋物線上三個點的坐標. 已知該拋物線經過A，B，O三點，所以可以分別將其坐標代入. 將原點O的坐標代入解析式，可求得c=0，再將A，B兩點的坐標代入解析式，可構建方程組4a-2b=0，

3. 第三步：問題轉化，定理突破

第（3）問是在第（2）問的基礎上進行的點存在性問題探討，該問有兩個關鍵條件需要處理：一是點C在拋物線的對稱軸上，其橫坐標必然為一定值，設點時應充分利用;二是要確保△BOC的周長最小，這需要構建相應的幾何模型，將幾何問題轉化為相應的代數問題.

易求得拋物線的對稱軸為直線x= -1，于是設點C的坐標為（-1，yC）. 對于△BOC，邊OB為定值，則要使△BOC的周長最小，就必須確保CO+CB的值最小，因此問題轉化為求線段和的最小值. 對于該問，可以借助“兩點之間，線段最短”的原理來求解，即在對稱軸的另一側構建與CO等長的線段. 已知點A和點O關于拋物線的對稱軸對稱，又點C在拋物線的對稱軸上，所以OC=CA. 于是問題進一步轉化為求BC+CA的最小值. 因此，當A，C，B三點在同一條直線上時（如圖3），BC+CA取得最小值. 連接AB，AB與直線x=-1的交點就是滿足條件的點C. 設線段AB所在的直線的解析式為y=kx+m（k≠0），將點A和點B的坐標代入，聯立方程可得-2k+m=0，

4. 第四步：面積割補，代數分析

第（4）問的點P為拋物線上一個動點，分析△PAB的面積是否存在最大值，首先需要設出點P的坐標，然后相應地構建△PAB的面積模型，將其轉化為關于點P坐標參數的二次函數，然后通過研究二次函數的性質來分析面積的最值.

假設存在滿足條件的點P. 根據題意，設點P的坐標為x，

解后反思

1. 關鍵步驟的分析

從問題類型來看，上述考題的第（3）（4）問均屬于最值存在性問題，解題突破時，均存在幾個關鍵步驟. 第（3）問求三角形周長的最小值，結合三角形的周長公式可知，該問題實際上就是求線段和的最小值，解題需要構建線段和的最小值模型，解題的關鍵一步就是基于幾何定理分析線段的最小值. 而第（4）問分析三角形面積的最大值，以及對應的點P的坐標，對于該類問題，需要結合代數進行分析. 考慮到三角形為一般三角形，因此突破該問的關鍵步驟有兩個：一是如何構建三角形的面積模型——割補法，二是如何分析最值問題——函數性質.

2. 存在性問題的策略

近幾年的中考壓軸題越發注重考查學生的綜合思維，以動點為背景的存在性問題是其中的一類，該類考題一般為分析滿足某種條件的情形是否存在，如上述求三角形的周長最小值和面積的最大值. 問題一般分為兩類：一類是肯定性問題，另一類是否定性問題，本考題就屬于肯定性問題. 對于肯定性問題，一般存在三種解題策略：一是直接由條件入手，逐層突破，試求滿足條件的問題情形;二是假設結論存在，然后根據已知條件，結合數學公式、定理，構建相應的問題模型，采用推理演繹的方法加以論證;最后一種則是采用反證法，假設所要分析的對象不存在，然后對其加以否定淘汰，從而證明結論. 上述三種方法并不是完全獨立的，有時也可以結合起來綜合推理，如上述考題第（4）問就采用首先假設動點存在，然后由條件出發構建面積模型，進而論證動點存在的方式. 因此，在后續解析動點存在性問題時，要充分利用已知條件，采用合理的解題策略來突破.

教學建議

1. 辨識考題，合理轉化

以拋物線為載體的存在性考題是中考數學壓軸題的典型問題之一，該類考題需采用合理的解題策略逐層剖析，合理轉化，因此在審題階段準確定位考題類型十分重要，其是后續解析、轉化的基礎. 在教學中，教師要注重引導學生掌握考題辨識的方法，按照“條件解讀→圖形繪制→問題分析”的步驟來充分認識考題，尤其要在對條件和問題的辨識過程中引導學生仔細提取其中的關鍵詞，從中提煉出具有鮮明代表的詞匯，如“是否”“存在”“若”等. 一般存在性考題的綜合性很強，需要對問題進行充分轉化，如上述利用數學公式轉換幾何周長、面積，利用割補的方法轉化面積等，因此在教學中要引導學生強化基礎知識，充分理解數學的公式、定理，并靈活運用，從而幫助學生獲得破題的方向和轉化的方法.

2. 善構圖形，充分思考

拋物線存在性問題的一個典型特點是考題一般與圖形緊密聯系，這是因為利用圖形不僅可以直觀地呈現考題條件，還可以通過圖形的閱讀來考查學生的讀圖能力. 而對于考生來說，充分利用考題圖像，構建相應的解題模型，則成為考題突破的重要環節，這也是該類綜合題突破的難點所在. 在初中階段，數形結合分析考題主要有三個角度：一是以數馭形，二是以形助數，三是數形互通. 在解題教學中，教師可以引導學生將其分為三個階段：首先，充分讀取題干條件，根據條件信息繪制相應的圖像，然后結合圖像進一步分析考題，充分挖掘其中的隱含信息，最后采用數形對照的方式來轉化考題，構建相應的解題思路. 在上述解題過程中，學生的思考邏輯極為重要，要引導學生掌握利用圖像信息進行思考推演的方法，掌握圖像模型構建的基本策略.