初中生數學建模思想的培養

肖海根

[摘? 要] 在初中數學教學中，教師不僅要培養學生的數學建模能力，更要將其上升為建模思想. 數學教師要研究數學建模思想的形成途徑，并在建模過程中通過模型的運用及用后反思，來幫助學生建立清晰的數學模型認識，進而生成建模思想.

[關鍵詞] 初中數學;數學建模;建模思想

核心素養背景下，數學學科核心素養明確提出了數學建模這一因素，盡管這不是向初中學段提出的，但考慮到不同學段之間的教育思路具有連續性，且數學建模也一直是初中數學的重點，因此在初中數學教學中培養學生的建模能力，進而培養學生的數學建模思想，仍然是非常必要的. 早在國家推行素質教育的時候，就有人做出了這樣的判斷：在中學數學教學中適當滲透建模思想，開展數學建模活動，對學生的創新能力培養能發揮重要作用，也是數學教學改革推進素質教育的一個突破口[1]. 而到了核心素養時代，數學建模思想培養的重要性應當得到更高程度的確認.

數學建模思想形成的途徑及探究

在數學學科核心素養中，數學建模是六要素之一，其重要性不言而喻. 但對于初中數學教學而言，將對數學建模的研究視角切換到學生身上時，實際上要關注的內容較多，包括從學生數學建模意識的培養，到數學建模能力的提升，再到數學建模思想的形成等. 其中，意識培養是前提，能力培養是途徑，而思想培養是旨歸，數學建模思想的培養，統領著數學建模意識與能力的培養. 對于教師而言，則要理清從數學建模到模型思想的嬗變，要從培養數學建模意識并促進其應用的角度讓學生在實踐中逐步形成模型思想[2].

筆者在研究中，重點對學生數學學習過程中數學建模思想的形成途徑進行了探究，應當說還是非常有收獲的. 總體而言，數學建模思想的培養過程，與數學建模過程是同步的，但這個過程中，教師的引導、指導與評價非常重要. 在學生的建模過程中，教師通過對學生建模過程的提純、強化，必要時進行顯性評價，是數學建模思想逐步形成的必要條件. 具體地說，數學建模思想的形成過程大致是這樣的.

首先，面對問題時形成數學建模的意識. 這是數學建模的第一步，也是數學建模思想的萌芽. 通常情況下，我們強調某一個數學思想的形成，往往就是從意識培養開始的. 很多實際問題都是在數學抽象之后，與某一個數學知識形成聯系才能得到解決，而所謂形成聯系的過程，其實就是建模的第一步，只有知道要建立與哪個數學知識相關的模型，才能知道用什么數學知識來求解.

其次，在解決問題時建立數學模型. 通常情況下，模型成熟的時候，就是問題解決的時候，因此問題解決的過程與數學建模的過程客觀上是同步的. 當然由于學生要梳理、書寫問題解決的過程，因此看起來問題解決要滯后于數學建模，但從學習心理的角度，兩者同步是必然的. 當然從具體的機制角度講，數學建模之初，學生需要對問題進行抽象，以尋找恰當的模型;其次需要將問題中的要素（已知與未知）滲透到模型中，使模型有解決問題的功能.

再次，在問題解決后的反思中強化模型認識. 問題為什么能夠得到解決？需要學生學會反思解題過程，生成解題思路，充分認識解題過程中模型所起到的關鍵作用. 此時教師有兩個選擇：一是幫學生梳理模型建立的思路及作用，但不提及數學建模概念;二是以數學建模這一概念統領解題思路，讓學生明確認識到數學建模在問題解決的過程中所起到的作用. 具體采用哪一種，取決于學生的實際情況.

基于數學建模過程培養建模思想

建模思想無疑是在建模過程中形成的，如果說建模思想是靈魂，那建模過程就是軀體，前者依附于后者之上，后者因為有了前者而具有生命力. 我們都知道，數學建模的一般步驟是：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗[3]. 那么在這個過程中，數學建模的思想是如何形成的呢？筆者通過實際例子來說明.

我們知道，函數本身就是一個數學模型，常常用來解決生活中的實際問題，而基于生活素材改編的一個常見的問題是：某公司生產出一種產品出售，如果在成本價10元/件的基礎上，按利潤率80%出售，那每天可以賣出60件;而通過更為精細的市場調查之后發現，如果每件產品的售價每提高1元，那每天的銷量就會減少5件，而如果每件產品的售價每降低1元，那銷量就會增加5件. 基于這樣的調查結果，你認為該公司應當做出什么樣的選擇？

這是一個實際問題，面對這個實際問題，學生通常會知道應當追求利潤的最大化，說得通俗一點，就是要盡可能地賺更多的錢. 那這個利潤在問題情境中應如何表示呢？帶著對這個問題的思考，建模的過程實際上已經開始了.

首先，學生會認識到這是一個動態變化的問題，其與方程必然相關，而當解決問題的數學工具選擇為函數時，模型準備就開始了.

其后，學生必然要設未知數，這實際上就進入了模型假設階段. 不同學生會基于不同的思路，設不同的未知數. 此過程中需要通過交流討論的方式，最終決定設商品的售價為x元/件，而每天的利潤則可以設為y.

到了模型構成階段，實際上就是準確確認問題中的數量關系，即y={60-5×[x-（10+10×80%）]}（x-10）.

對于這個模型的求解，聰明的學生往往會想到其與二次函數的最值有關，而有了這個想法，問題實際上就被解決了.

至于模型分析與模型檢驗，實際上可以借助二次函數的知識（包括性質、圖像等）來進行，也可以通過特殊值的計算來進行，反正結果肯定是當售價是20元/件時，利潤最大. 有了這個發現，問題也就得到了解決.

其后就是重要的“問題解決過程反思階段”，即思考“我們是通過什么方法實現問題的解決的”. 這是一個具有通用性的問題，在問題得到解決之后，再讓學生進行這樣的一個反思，這在傳統教學中比較少見，但又非常重要. 因為這個過程可以幫助學生梳理解決思路，而在利用數學模型解決問題的情境中進行這樣的反思，可以凸顯模型的價值，從而讓學生形成數學建模思想. 實際上在上面這個例子中，學生通過梳理就會發現：模型在其中發揮著重要的作用，這說明函數這個模型是具有實際運用價值的，是可以解決與變量相關的實際問題的. 那學生在今后遇到與變量相關、與最值相關的問題時，就會直覺性地想到函數知識的運用，這說明數學建模思想已經初步形成了.

而從教學研究的角度來看學生數學建模思想的形成過程，實際上也是有共性的：當學生遇到問題，意識到問題的解決可能與數學相關（實際問題中學生有可能還會想到其他學科），與數學當中的某一個知識（如方程、函數等）相關時，數學建模過程就已經啟動，模型思想也就開始形成. 說白了，數學建模思想并不高大上，其就是學生運用數學模型解決問題的一種意識、直覺以及熟練程度等. 當學生能夠熟練地運用數學模型解決問題時，我們自然認為其是具有數學建模思想的.

建模思想的形成需開放教學思路

相對于數學知識的傳授、解決問題能力的培養而言，數學建模思想的培養難度更大，因為其本身不可能是直接的教學對象，只有在學生建立數學模型的過程中才有培養的空間，而學生建立數學模型的主要目的，往往并不在數學建模思想培養本身，而在于問題的解決甚至是更為直接的考試得分. 因此，數學建模思想的培養，既需要一定的模式，又需要教師本著開放的思路去進行.

眾所周知，初中數學應用性問題所涉及的數學模型主要包括了函數、方程、不等式、三角、幾何等概念. 建模的內容也相當豐富，遍及社會生活與生產實踐的各個方面[4]. 開放的教學思路意味著在數學建模思想培養的過程中，素材的選擇可以是開放的，而素材越開放，意味著學生可以將數學建模與生活的聯系變得更密切一些，那數學建模思想的形成實際上也就更容易一些. 這是因為數學建模思想與數學建模的過程密切相關，只有在數學建模的這個“游泳”過程中，建模思想這個“游泳技能”才能形成.

同時，教師的教學方式也應當是開放的，數學建模的過程固然有文章第二點闡述的步驟，但實際上很多時候也不完全拘泥于那樣的過程. 初中生在解決問題的時候，還有很多直覺思維非常可貴，借助學生的直覺思維去培養學生的數學建模思想，實際上也是非常可行的. 而很多時候數學建模思想之所以能夠發揮作用，其本身也是問題解決者的一種直覺.

綜上所述，初中數學教學中數學建模思想的培養，既要立足于數學建模意識的培養，更要在數學建模的過程中，讓學生的數學建模能力得到提升，且多次訓練之后最好要形成利用數學模型解決實際問題的直覺，這樣的數學建模思想才會真正成為學生的內在習慣.

參考文獻：

[1]方俊，吳方. 淺談中學數學教學中“數學建模”思想的滲透[J]. 數學教學通訊，2006（9）.

[2]徐冬梅. 模型思想：一個具有豐富意義的數學概念——基于初中數學的思考[J]. 數學教學通訊，2017（5）.

[3]藍婷，劉文輝. 數學建模與中學生數學應用能力培養的策略研究[J]. 數學教學通訊，2011（6）.

[4]孫小萍. 淺談初中生數學建模能力的培養[J]. 中學數學教學，2003（2）.