先猜后證的數學思想及其應用

朱懷靜

摘 要：先猜后證數學思想是數學思想的重要組成部分，它將猜想與證明相結合，是一種創新。沒有先猜后證，許多定理的證明將十分困難。文章先介紹了先猜后證數學思想的概念以及重要性，而后說明了先猜后證數學思想的在定理、引理證明以及解題時的應用，有助于高校學生在數學學習的過程中注重先猜后證思想的學習與理解，從而促進其對數學的學習。

關鍵詞：先猜后證 數學 合情推理

引言

數學思想是千百年來人們對數學事實與理論經過概括總結后得出的對數學本質的認識。只有通過數學思想的培養，人們的數學能力才能有大幅度的提高。有人曾說過，掌握了數學思想，就是掌握了數學的精髓。先猜后證是數學思想里的重要組成部分。許多定理、引理的證明都離不開這一思想。因此，了解與掌握先猜后證這一數學思想不僅有助于中小學生掌握數學知識，對高校學生數學的學習也有極大的幫助。^[1]

一、先猜后證數學思想的介紹

先猜后證數學思想是一種重要的數學思想，這里筆者主要介紹其概念及在數學發展歷程中的重要作用。

1.先猜后證的概念

在數學領域中先猜后證是一種重要的數學思想，既能夠進行猜想運動，又能夠對才能創新進行證明，從一定程度上來說先猜后證思想對于數學學習過程中常規打破、標新立異，并對傳統習慣性思維進行超越具有一定的促進作用，是一種能夠通過現象看本質的更高層次的思維。創造性的思之所以稱之為是創造性思維必須有創造性的想象，愛因斯坦曾說過：想象力是科學研究中的一個實在因素。相較于知識來說想象力其實更為重要，想象力是無限的，而知識是有限的，通過想象力能夠對世界上的一切事物進行概括，推動知識的發展進步。想象力對于知識來說其進化的源泉。^[2]

2.先猜后證的重要性

在整個人類數學史發展過程中，我們可以發現其中很多歷史性突破和重要的發現中都有先猜后證的身影在其中發揮作用，在一個理論證明之前首先需要通過猜想發現一個命題的內容之后，還需要不斷地對其進行檢驗以及修改，幫助猜想和理論能夠不斷地完善最終實現完全證明，實現對證明進行推測。在對觀察到的結果加以綜合類比的一整個系列過程中先猜后證都起到非常重要的作用，從發現——猜想這就是整個先猜后證數學思想的實質所在，而牛頓曾說過，沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。從種種角度足以看出整個數學發展過程中先猜后證所起到的重要作用。

在數學的發展過程中其中絕大多數數學方法、法則、定理規律等發現和發展過程中先猜后證都是其中一個非常重要的方法，并且在對各種數學問題發現并解決的過程中不能夠僅僅的按照邏輯程序對問題進行思考，還需要將自己的經驗和邏輯推理方法兩者之間進行結合，從而將跳躍式思維更多地表現出來。在高校數學教學的過程中，老師們不僅僅需要對思維的嚴密性以及結果的正確性進行強調，同時也需要提高對思維的直覺探索性以及發現性進行提升，這對于學生創新以及綜合能力的提升和培養有非常重要的作用。總的來說要加強對學生先猜后證思維的培養和重視，可以從一定程度上對學生的數學素質以及開放型的思維這些提升。首先在問題解決的基礎上，更多的將學生已有的數學活動經驗作為其基礎之后，再通過先猜后證的方式對整個問題的條件進行分析，將已知的條件和位置的結構之間通過先猜后證的方式進行聯系，進一步地對問題解決的效率進行提升。

二、先猜后證數學思想的應用

比如說在進行虛數的教學過程中。可以讓學生們對自然系數逐步擴充到實數系的整個過程進行回顧，并從中體會到在整個數系擴充所存在的緊密聯系。在敘述運算進行學習過程中，可以通過類比實數運算的法則對其需進行探究，在得出運算結果的同時還可以對運算過程中所蘊含道理進行充分了解。比如說是在對虛數加法法則進行學習的過程可以通過不完全歸納的方法、類比物理中力的分解及相加或者是向量加法的方法對學生有實際經驗的方向問題進行推理得出，對于同一個問題可以從多角度進行分析并得出相應的結論。不完全歸納推理的方式和形式不僅僅能夠對虛數的加法法則進行學習過程中可以使用，還能夠在虛數的加乘法各運算律的計算和推理過程中進行使用。例如：平面內的 n 個圓 ，最多可將平面分割多少個互不重疊部分區域這個實際問題可轉化為數學問題 ：f（1） =2 ;f（2） =2 +2 ;f（3） =2 +2 +4 ;f（n） =2 +2 +4 +6 +… +2（n - 1），求 f（n）的表達式，其所闡述的實際問題是有n個圓，其中任意兩個圓都相交于兩個不同的點，并且第三個園都不會在此點相交，問這n個圓將平面分成多少個不連通的部分，并加以論證。

結語

綜上所述，作者在本文之中對其進行了深入的探究，希望能夠給予大家一些啟發。布魯納曾靜說過探索是數學教學的生命線。意味著探索真理的方法是在數學教學之中非常關鍵的一步，其中歸納猜想和類比猜想都是其中相對比較重要的兩個板塊。在本文之中首先以先猜后想為基礎，對于學生在學習過程之中要先學會這樣的方法，其余在教會學生要獨立自主的主動學習的方式進行學習。希望高校學生能夠在文章的基礎上更深入地了解先猜后證這一數學思想，在今后的數學學習中積極運用這一思想解決問題。

參考文獻

[1]余德治.先猜后證的數學思想及其應用[J].中學數學雜志，2016（6）：19-22.

[2]黃坪.先猜后證，讓思維活起來[J].數學教學，2014（5）：7-8.