例談如何克服和消除思維盲區

王偉琴

[摘 要]反例是用來推翻某個命題或者結論的最簡潔有力的途徑，反例一出，一個不合理的結論就會不攻自破。反例可為數學教學服務，反例的特殊性和證明力可以一針見血地指出學生認知中的不合理成分，幫助學生構建概念、突破難點、汲取有益經驗。

[關鍵詞]反例;認知;回歸

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）26-0037-02

反例是指符合某個定義的題設但是卻得出相反的結論，從而推翻原結論的例子，因其揭露結論的前后矛盾，直觀簡潔，所以具有很強的說服力。因此，舉反例來否定某結論的做法在小學數學教學中很盛行，且作用巨大。只要施策恰當、時機合適，巧妙運用反例能有效幫助學生理解知識、突破難點、辨析正誤、靈活思考，使學習效率事半功倍。

一、建構概念時引用反例，堵住漏洞

深刻理解概念是學好知識的前提和基本保障，然而小學生的直觀思維功能發達，抽象的數學概念難以進入學生的思維神經中樞。在學習過程中，學生對概念的理解往往很片面，因此在實際運用中屢屢出錯。而典型、鮮明、直觀的反例，卻能給學生朦朧的認知帶來強烈的刺激。引導學生比較、辨析反例與結論的異同，重新審視概念，界定概念的外延，可讓學生對所學概念有較為精準到位的把握。

例如，在教學“平行線”概念時，概念中的定語“在同一平面”“永不相交”是并列存在的必要條件。為了幫助學生準確到位地掌握概念，不妨舉兩個缺失必要條件的反例：第一個反例是，上下分離交叉的立交橋缺失“同一平面”這一條件;第二個反例是，兩條線在有限距離不相交，但是延伸后相交于一點。通過這兩個反例，學生對平行線概念的把握更精確深刻，明白只有同時滿足“在同一平面、永不相交”這兩點，平行線的概念才能成立。可見，當學生對內涵豐富的概念的認識有局限時，可以通過反例來凸顯構成概念的必備要素，從而讓學生注意到概念的本質屬性，更深刻、全面地構建概念。

數學概念的定義是非常精練簡潔的，短短的一句話蘊含著多個限制條件和豐富內涵。學生在學習概念時，感知籠統，這樣一旦遇到迷惑性很高的相似概念，就會容易混淆，甚至產生認知混亂，這時推出反例恰好可以引起學生對概念中各個限制條件的注意。

二、突破難點時引用反例，不攻自破

突破教學難點是一節課的重頭戲。運用反例來攻破難點，可以對錯誤認知起到釜底抽薪的作用。小學生的思維方式還處于形象向抽象轉化的階段，看問題有很大的局限性。在學生似懂非懂時，運用反例，可讓學生在正反對比中豁然開朗，迅速洞明真相。

譬如，“乘法分配律”（a+b）c=ac+bc是教學的重難點之一。學生很容易想當然地寫成：（a+b）[×]c=a[×]c+c，（a+b）[×]c=a[×]c+b，a[×]c+b[×]c=（a+c）[×]b等。為了突破這個難點，不妨設計以下反例，讓學生先判斷正誤，然后集中更正。

①（15+33）[×]2=15[×]2+33

②（25+11）[×]4=25[×]4+11

③5[×]16+14[×]16=（16+14）[×]5

學生往往會因為對“乘法分配律”不同程度的錯誤理解而做出誤判。這時，教師不要急著指正，而是將檢驗的機會留給學生。對比數值后學生開始發現錯誤，產生追根究底的強烈動機，迫切想查出問題所在。在這個糾錯的過程中，學生自然會通過對比辨析運算律的正確運用。3個反例暴露了3個方面的典型錯誤，學生通過對這3個錯誤的清醒認識，堵住了分配律運用的3個常見漏洞。巧用反例，引發學生的認知沖突，促使學生積極反思、反省、自查、自糾，正確運用乘法分配律。

數學概念和規律很多都是通過公式呈現的，但是公式的結構會隨著代數的變形而千變萬化，這時學生很難準確識別哪個變式是正確的，哪個變式是錯誤的。實踐是檢驗真理的唯一標準，反例就是實踐過程中的一塊試金石。

三、判斷命題破定式時引入反例，汲取經驗

相似度和關聯度極高的命題，非常容易引起學生思維混亂，其原因主要是對舊概念的刻板印象影響了對新概念的接收。此時，可以通過反例重現被學生忽略的本質屬性，讓學生自覺摒除錯誤認知，辨清相似概念的異同，從另一個角度切入，自覺與前一個概念區別開來，補齊正面教學的短板。

如教學完分數乘法的運算意義和算法后，對因數與積之間的大小關系，擬一道判斷題“一個數乘分數，積一定比原數大”。該題考查學生對原數的特殊性和分數的意義的認知情況。學生一般會忽視原數是非0數，分數分為小于1和大于1這兩種情況，加上分數有真分數和假分數之別，而假分數里面又要分類討論，是大于1還是等于1都需要做出精細劃分。此時舉個反例，將所有的可能情況囊括進去，引導學生層層分析，歸納出“原數不同、分數不同的情況下，結果也不同”，讓學生記憶猶新。

不難發現，課本一般只會出示正例。因此，學生往往只會根據表面特征套公式，或沿用慣例。學生在長期的正例的“麻痹”下，無視公式成立的前提條件或適用范圍，從而輕率武斷地用老公式去解決背景和形式已經改變的新問題，導致解題錯誤。因此，在思維定式成型前，用反例來矯正，或者直接就地取材，采用學生因思維定式而生成的反例，能使學生吃一塹長一智，牢牢記住數學本質。例如，在教學百分數應用題后，出示練習題：甲乙兩人騎電瓶車從A、B兩鎮相向而行，甲騎車需要3小時到達B鎮，乙騎車需要4小時到達A鎮。甲的車速比乙的車速快幾分之幾？學生在思維定式的作用下，容易得出（4-3）[÷]4的錯解。教師可引導學生辨析：“錯在哪里？為什么會出錯？”學生經過合作探究，交流意見，得出錯誤的根源在于將題目告知的行車時間當作所求的速度比。學生在找錯、論錯、認錯、改錯的過程中，明確錯誤的來源，汲取了有益的經驗。這樣才能形成防錯機制，更有利于學生牢固掌握知識，培養學生思維的深刻性。

一個概念或者命題的推出往往與學生所學的知識范圍相適應，但是隨著知識的延伸和拓展，前概念開始顯現其滯后性，但課本為了強化學生對前概念的認知，往往會出示大量經典的正例來佐證，這時，學生就會形成思維定式。因而，當新知識超過原概念的適用范圍時，學生若仍按原路徑思考，勢必會出錯。這時，舉反例無疑是最好的方式。

在教學中，教師巧設經典反例，或隨機引進一些反例，不僅會使課堂教學變得更有活力，而且能促進學生對抽象概念的深刻理解，清晰地認識數學本質，從而提高思辨力和創造力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 丁華.巧用數學反例? ?凸顯概念本質[J].小學教學參考，2015（32）：83.

[2] 張金花.小學數學教學中如何利用反例[J].江西教育，2016（27）：75.

（責編 羅 艷）