學習進階：從“智學”走向“自慧”的應然之徑*

江蘇省宜興市丁蜀高級中學 (214221)

周 軍

數學教學應立足學生的認知基點，遵循學生的心理發展機制和個性化學習差異，因材施教，循序漸進.這正是學習進階理論所倡導的序列化、精致化、高階化的思維教學愿景.教師在課堂教學中應挖掘數學本質及數學教學的價值，精心搭建引領學生從低層次思維向高階思維演進的“腳手架”，合理把控數學知識的演進序、學生認知心理的思維序、教學時空拓展的推進序，真正還原數學教學的本真價值:讓學生獲取生存、生活和適應社會發展的智慧.這樣才是回歸“人本”的，才是“育化生命”的，才是對教育價值的最高領悟.

現實的教學過程中，囿于高中數學課時安排緊張，部分教師依然執著于“題海戰”、“應試觀”和“循環練”，忽視學生的個性差異，缺乏方法層面的指導和思想價值的提煉，課堂的話語權始終被教師掌控，學生缺少深度學習的活動體驗，因此，“學而不懂”、“懂而不會”、“會而不快”的現象屢屢呈現.那么，怎樣設計教學路徑，怎樣激活學生智慧學習進而自育慧根理應成為數學課堂教學研究的一個亟待開展的課題.一節精準有序的高三二輪微專題復習課能讓我們耳目一新，為我們開啟思維進階的智學模式指明方向.無錫市教學能手黎明老師執教的“多元變量的最值問題”就是這樣一個優質的課堂范式.

1.教學實錄

涉及“多元變量”的最值問題是近年來各地模擬考試和高考中的熱門考點，這類問題形式多變，綜合性強，能有效甄別學生的思維層級，能激發學生自我挑戰的意識，能培養高品質的關鍵能力.問題解決的策略一般有：函數與方程思想、不等式思想、換元思想、化歸思想、數形結合思想等.這些策略的背后蘊含著高中數學主干知識的重要脈絡，滲透著可遷移、可拓展、可推廣的數學思想方法，育化著可持續發展的數學核心素養.教師的角色定位于教學時空的設計者，思維進階的奠基者，習得價值的評價者，其任務在于追溯數學本質，培養理性思維，助力深度發展.黎老師正是憑借獨特的教學智慧，成就了一堂既“燒腦”又“溢趣”的微專題復習課，

片段1

黎：學習上，我們要培養“瞻前顧后”的好習慣，千萬不能“喜新厭舊”哦！

(眾生笑，氣氛熱烈.)

黎：當遇到新問題的時候，要善于聯系已經學過的知識.請大家思考以前的哪些內容涉及多元變量的問題？

生1：線性規劃.

生2：基本不等式.

生3：三角形中三角函數.

……

黎：非常好！從同學們的回答中可以提煉出一個重要的觀點：用聯系的視角看問題，才能更系統，更深刻.下面，我們就沿著這樣思路，開始今天的探究之旅.先看一下課前熱身的兩個小題.

題1 設x≥0，y≥0且x+2y=1，則2x+3y2的最小值為.

題2 已知正實數x，y滿足xy+x+y=3，則x+y的最小值為.

黎：大家已經作了預習，下面請位同學來談談解決方案.

黎：解題過程中是否存在忽略的細節呢？

黎：很好，觀察敏銳，思維嚴謹.(追問)你覺得題1的解法依據是什么？

生5：通過消元，轉化為一元函數求最值.

黎：不錯！這就揭示了多元變量問題的第一個關聯對象——函數.那么，題2解法的依據又如何呢？

生6：用基本不等式構建不等關系求最值.

黎：很好！呈現了等與不等的轉化，揭示了多元變量問題的第二個關聯對象——不等式.

設計價值評析：監測學生的認知基礎和思維起點，暴露學生的迷思概念，通過適時追問、元認知提示語、比較辨析，引導學生不僅關注“漁魚之術”，更要洞悉“漁魚之道”.同時，從方法論的層面揭示了多元變量最值問題的兩個轉化走向，為后續的深入探究開啟生長空間.

片段2

探究1：(2011浙江)設x，y是實數，且4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為.

黎：這是浙江省的高考題，典型的多元變量最值問題，入口寬泛，內涵豐富.請大家依據自己的經驗尋求突破口.

(學生若有所思，躍躍欲試.)

黎：回答很流暢！你是如何思考的呢？

黎：觀察入微，分析透徹，給你點贊！從結構的視角審視條件與目標的關系，通過轉化，導通思維路徑，達成目標，這是分析和解決問題的重要能力，需要有意識培養.下面，如果改變結論：求3x+y的最大值，又該如何處理呢？

(學生沉默，面露糾結之色.)

黎：剛剛的方法還適用嗎？

生8：不能用了，結構上的聯系似乎沒有了.

生9：考慮將條件式消元后代入目標式轉化為一元函數求最值，可是不會消元了.

黎(追問)：你覺得為什么無法消元？可以跟前面的題目做個對比.

生9(思索片刻，恍然大悟)：我明白了！前面的題條件中變量x，y各自的指數統一，可以用一個變量表示另一個變量，而本題條件中x，y各自的指數明顯不統一，所以無法通過變量分離來消元.

黎：很棒！問題的癥結分析得很到位.看來，消元之法是沒用武之地嘍！老師也沒什么好辦法了(無奈地笑)，你們還有高招嗎？

生10：平時我們習慣于將條件式變形代入目標式消元，這次反過來，可以考慮將目標式代入條件式處理.

黎：你的想法很有創意！具體說說怎么做？

生10：先目標式換元，令3x+y=t，則y=t-3x，代入條件式得10x2-5tx+t2-1=0，后面怎么處理，還沒想好.

黎：生10的問題，可能也是大家在糾結的.其實，他通過換元、消元得到的不再是函數，而是一個方程.關鍵在于搞清變量x和t的角色定位，主元意識很重要，由于t是待求的，視為參數，那么x理應為主元，隨即轉化為一個關于x的一元二次方程有實數解的問題，用Δ≥0輕松解決.

黎：請大家回憶一下，以前的學習中有沒有類似的研究經歷？

(一石激起千層浪.學生下意識地相互討論、辨析.)

生11：條件是一個二元二次方程，如果沒有xy這一項，就表示橢圓的標準方程，現在多了這一項，我猜還應該是橢圓.目標是一個二元一次方程，含有參數t，表示一組平行直線.這樣問題就可以轉化為直線與橢圓的位置關系問題，那么剛剛的解法就很合理了.

黎：視角轉換得很漂亮！從幾何背景追溯問題的本源，有助于思維的可視化.這樣多元變量的另外兩個關聯對象：方程和幾何圖形，很自然地浮出水面.剛才生11大膽猜想條件表示橢圓，是有道理的，可以用坐標變換去驗證——發生旋轉的橢圓，他的這種創新意識值得大家學習.

黎：對于4x2+y2+xy=1，如果去掉xy，求3x+y的最大值，是否很熟悉呢？在哪里遇到過？

生12：附加題中經常做，可以用三角換元.

黎：很好！此題能否類比操作呢？

黎:精彩！此處應有掌聲.通過配方，變形為平方和為常數的形式，依據sin2θ+cos2θ=1進行換元.至此，三角函數也成為多元變量的重要關聯對象.

設計價值評析：學習進階理論強調為學生的思維演進搭“階”，幫助學生的認知從單向走向多維，從線性走向立體，從碎片化走向系統化.教師在學生的最近發展區設問，通過一題多解，一題多變，一題多思，固化通性通法，構建思想模塊，明辨疑難癥結，強化理性思維.更值得一題的是，在重要的思維節點，濃墨重彩，甚至不惜稚化思維，以期激發學生的探究欲望，從而達成師生的思維同頻共振，也促進學生的數學核心素養自主、自覺、自然地形成.

片段3

黎：對于這道高考題，大家的直覺思維是什么呢？

生14：減少變量，多變量最好轉化為單變量.

黎：看來，減元是硬道理！那么，如何減，還是要講策略的，請大家思考一下.

黎：很好！可否消去x或z呢？

生15：應該也行，不過對于分式，將分子變復雜比分母變復雜容易處理.

黎：觀察敏銳！這就體現了運算的簡約化.下面，通過兩個變式進一步感悟減元的常見策略.

變式2：已知實數a，b，c，滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則實數a的最大值為.

(學生分組討論，練習嘗試.)

黎：請兩位學生代表，解說你們的研究成果.

黎：這里用到不等式放縮消元以及齊次分式整體化消元的策略，請大家細心積累經驗，靈活運用.

黎：心中有公式，手下當無礙.還有別的途徑嗎？從幾何背景考慮下.

生18：可以把a當做不變量，那么前一個方程表示直線，后一個方程表示圓，這樣可以聯立方程組通過消元后用Δ≥0即可解決.

黎:不錯！既然是直線和圓的位置關系的判斷，還能優化處理嗎？

生19：可以用圓心到直線的距離和半徑作比較，即d≤r.

黎：非常好！這樣更簡潔，更能體現以形助數的解析味.

設計價值評析：生態課堂觀下學生是思維活動的主體，教師充當設計者和引領者，通過過分組探究、代表展示、深度對話的形式培養學生思維的靈活性和深刻性，通過變式訓練讓學生自主積淀策略模塊并辯證比較，理性選擇，激發學生思維的批判性.

黎：《禮記·中庸》有云：“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之.”這說的是為學的幾個層次，我們學習數學亦當如此.希望同學們循序漸進，習得有價值的數學，自育生命成長之慧根.

設計價值評析：通過吟誦勵志語，喚起師生感悟文化的共鳴，彰顯了數學教育的人文價值.同時，為學之境切合學習進階理論的演進規律，無意中形成融通之勢，可謂無心插柳柳成蔭.

2.學習進階視域下的智學課堂呈現怎樣的教學生態？

高三二輪的微專題設計要體現“因微而準、因微而細、因微而深、因微而精.”立足學情，定點突破，說有價值的數學，引可遷移的思維.實施過程中應明確以下要素.

(1)科學選擇定位適切

微專題源于高考的重點、熱點問題和學生的疑點、難點問題，選擇蘊含方法思想典型題目作為思維載體，注重例題、變式、練習間的層次性和關聯性，讓學生自主建構解決一類問題的思維導圖.當然，二輪復習內容有一定難度，所以不同生源的學校、不同組合的班級、不同層次的學生選擇的微專題數目和深度應有所差異，必須遵循讓學生“跳一跳夠得到”的原則，立足讓不同的學生得到不同的發展.

(2)凸顯主體活動引智

學生和教師的思維落差是客觀存在的，倘若教師主觀臆斷，越俎代庖，過多干擾學生的個性化思維活動，那么學生必將收獲甚微，興趣索然.因此，讓學生獲得課堂的話語權和活動權，凸顯其主體地位，顯得至關重要.首先，先練后講.讓學生板演示錯，師生共同糾錯；讓學生展示多種解法，師生共同評價.這樣增強學生的思辨意識.其次，分組討論，集中展示.讓學生在討論和展示中激發思維火花，分享成功經驗，汲取失誤教訓，形成思維固著.教師可通過元認知提問、適度點撥、稚化自我等方式，幫助學生突破思維瓶頸，強化思路拓展，促進深度學習.

(3)自主整理優化結構

二輪復習的課堂容量和思維深度對學生而言都是極大的挑戰，因此，為學生留白，讓學生內化也是必不可少的.首先，確保自主整理的時間.每節課結束前，可留十到十五分鐘，讓學生畫思維導圖，自主總結；每周安排二到三節反思課，讓學生消化反思.其次，引導學生系統化整理.對于錯題要按知識點、方法、思想等線索歸類，提醒學生自己提煉解題方法和規律，從而完善和優化自己的思維結構.最后，創造讓學生展示整理成果的機會.比如，讓學生編題、說題，調動學生執行整理工作的積極性.