揭示數學本質 關注數學發現

江蘇省無錫市立人高級中學 (214161)

鄭寶生 沈熠璠

前一段時間，我區開展高中數學青年教師評優課，有幸作為評委的我們，參與了整個聽課和評課的過程.所用教材是蘇教版普通高中數學必修4，內容是“兩角差的余弦公式”(以下稱為“公式”).青年教師們各顯身手，呈現了許多不同的教學方案，其教學風格自然也各具特色，不同的方案會有哪些優勢和不足？有沒有更好的教學方案？這些問題一直困擾著我，促使我仔細分析、深入思考，試圖找出恰當的理由來說服自己，更期待說服別人，故形成如下文字.

一、課堂教學設計案例

不同的課堂教學設計方案會產生不同的教學效果.在這次區評優課眾多的教學方案中，其主流也就是如下兩種，而第三種是筆者課后的探究所得，需要對教材的知識內容進行前后次序的調整.

1.在習題的解答中發現問題

從普通高中蘇教版教材必修4，習題2.4探究拓展中的第22題開始.

方案一

同樣可得cos(90°-60°)=cos90°cos60°+sin90°sin60°，由于cos90°=0，sin90°=1,所以cos30°=sin60°等式成立.

事實上，由于向量的夾角θ∈[0,π]，則θ=α-β+2kπ或θ=β-α+2kπ，k∈Z.所以等式成立.

評議：這樣的課堂教學簡潔明快、直奔主題，從特殊到一般的探究方法，體現了數學的抽象過程.然而，公式的產生既不是生活實際的需求，也不是數學發展的需要，僅僅是解題中找到的規律而已，缺少知識產生的必要性，不能更好地激發學生學習的內部需求，難以調動學生的學習積極性.其次，向量數量積的運算公式已經存在，無需學生去發現，只要進行等式是否成立的檢驗，這樣就失去了公式的發現過程，不利于學生發現問題、提出問題能力的培養.最后，開頭的習題已經告訴了定理的證明過程，無需在證明方法上進行更多的思考，只要澄清向量的夾角與α-β之間的關系，這使得公式的證明降低了思維含量，不利于學生思維能力的培養.

2.從誘導公式的結果中發現問題

從學生熟悉的數學情境中入手，通過恰當的問題，既能體現數學知識間內在的聯系，又能更好地激發學生的求知欲望.

方案二

問題3 我們學過的知識中哪里有cos15°在直角三角形ABC中，∠A=15°，∠C=90°，則∠B=75°，我們會解的是30°角的直角三角形，怎么辦？

問題6 對于任意角α、β怎樣證明cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ？

(1)在我們學過的知識中，哪里可以找到sinα、cosα和sinβ、cosβ？

(2)在單位圓中怎樣得到cosα·cosβ+sinα·sinβ？退一步，能找到x1x2+y1y2嗎？

(證明略).

3.在誘導公式的推導中發現問題

由于現在的普通高中數學沒有按照教材編排的順序進行學習，而是學習必修1后，直接學習必修4然后再學習必修2，這樣必修4中三角函數兩角差的余弦公式的學習，先于必修2中解析幾何直線與圓的學習，導致三角函數中單位圓中對稱性的運用受到制約，三角函數中兩角差的余弦公式其本質就是圓的對稱性，如何通過單位圓的對稱性來展示數學公式的發現過程，筆者進行了如下的探討：首先要學習必修2中的解析幾何的“直線和圓”，然后再來學習必修4中的“三角函數”.其次對于教材中知識內容的次序也要進行調整，凸現兩角差的余弦公式的數學本質.

方案三

問題2 上述兩個問題的相同之處和不同之處是什么？

圖2

圖3

二、課后反思及感悟

課堂教學效果受教師的影響也受學生的制約，教學方案的設計直接影響著教學效果，教學方案的先天不足，必然導致教學質量的下降，優秀的教學方案既能反映數學的本質，又能觸動學生的疑慮，點燃學生的思緒，激發學生的求知欲望，使得數學核心素養真正落到實處.

1.揭示數學本質，重視數學經驗的積累

三個方案各不相同，反映了教師對數學知識的不同理解，以及執教者不同的教學理念.方案一缺少了知識產生的必要性，但也反映了數學知識產生的歸納過程，從知識傳授的角度看，它會給學生帶來更多的疑慮，為什么要解這樣的題目？這樣的方法你是怎樣想到的？丟失了許多學生獨立思考的機緣；從育人的角度看，學生體會不到數學知識的本質，感悟不到數學知識研究的方式方法，不利于學生形成良好的數學觀，這對于學生的數學學習會產生負面影響.方案二充分展示了數學歸納的一面，從情境到問題，從數值拼湊到假設檢驗，從數學猜想到數學抽象，整個教學過程體現了數學研究最基本的方式方法，這對于學生積累數學研究的經驗，形成數學研究的套路是很有幫助的.方案三更多地體現了數學演繹的一面，從找到兩個三角函數誘導公式的對稱性開始，沿著對稱性這條主線逐漸推理下去，最后推得兩角差的余弦公式，而這個公式的數學本質就是：單位圓中，任意兩個角的終邊關于某一條直徑所在直線對稱，所以說圓是最好的刻畫三角函數的數學模型.數學經驗的積累、數學本質的把握，對于理解公式進而理解數學是十分有益的.

2.關注數學發現，彰顯學生的主體作用

3.展示數學思想，發展學生的數學核心素養

數學有三個基本特征，一般性、嚴謹性和應用的廣泛性，這是數學領域里的普遍共識，與之對應的數學基本思想是：抽象、推理和模型，反映在學生身上的思維品質和關鍵能力，就是六個數學學科的核心素養.上述三個教學方案，都體現了從特殊到一般的抽象過程，數學發現的合情推理與數學證明的邏輯推理過程，以及形成公式的建模過程，由于選擇的路徑不同，所表現出來的數學基本思想強弱差距很大，落實到學生思想或行為上的數學核心素養必然不同.數學課堂教學需要揭示數學知識的本質，理清數學知識之間的聯系，展示數學的研究方法，使學生真正走進數學內部，近距離觸摸數學知識的發展脈絡，這樣才能讓數學散發出自身的魅力，吸引和感染更多的學生喜歡數學、會學數學.其次，學生思維的主動參與是發展學生核心素養的根本保證，沒有學生參與的課堂教學，只是教師的一味灌輸，學生的被動記憶，他們的才華得不到施展，情感得不到宣泄，發現問題、分析問題的能力得不到鍛煉和培養，數學核心素養的發展必然落空.這樣培養出來的學生不會思考、缺乏主見，不會思考的人無法辨別是非，缺乏主見的人沒有創新能力.所以說，數學課堂教學需要揭示數學知識的本質，激發學生的學習熱情，讓學生的思維真正動起來，實現思維的相互碰創，這樣的數學課堂教學才會充滿勃勃生機.