立足數學素養培育,探析導數試題命制*

福建省石獅市華僑中學 (362700)

蔡振樹

命題是艱辛而又富有挑戰性的工作，積極參與命題活動，可以加深對數學知識本質方法的理解，加深對高考考試說明的要求等方面的領悟，強化知識與方法體系的建構，提高教師自身業務素養，提升課堂教學的有效性.試題命制中關于數學核心素養的考查如何落實到位，六大數學核心素養如何在解題過程中考查落地，是命題者需要重點研究的課題.下面筆者以函數導數試題的命制過程評析為例，結合多年參加各級考試命題的經歷談幾點感想.

一、立足基礎知識的考查，培育學習潛能

例1 已知函數f(x)=ax-lnx-1,(a∈R).

(Ⅰ)?x∈(0,+∞)，bx-2≤f(x)，若f(x)的一個極值點是x=1，求實數b的取值范圍；

試題(Ⅱ)問是本題的核心，通過設置對參數的討論，利用導數研究函數的性質，并利用單調性比較大小，考查了分類討論、推理計算能力.題中函數與不等式結合為學生解答提供廣闊的發揮空間，利用導數研究函數的性質要求學生具備一般到特殊的問題轉化能力，重點考查學生的數學抽象、邏輯推理等數學素養.

試題評析：導數的應用是高中數學學習的重要內容之一.本試題考查函數的導數及其應用，分步設問，逐步推進，考查由淺入深，重點突出，提高思維層次，使學生更深刻的理解導數的應用，同時對學生的邏輯推理、數學運算等素養落實提供了載體.本題利用導數研究函數的手法，層次分明，區分度高.它比較能反映學生是否真正掌握數學知識本質，使不同層次的學生的思維得到充分展示，進一步考查學生學習的潛能.

二、立足能力思想的滲透，培育學習能力

(Ⅰ)求實數b的取值范圍；

(Ⅱ)證明：x1+x2>2.

命制過程:試題源于某模擬考試題，題目如下：

(Ⅰ)求實數m的取值范圍；

(Ⅱ)記函數f(x)的兩個零點分別為x1,x1.證明：x1x1>e2.

若令t=lnx，則方程可化為t-met=0.

為了提升試題難度，考慮增加考點知識，考查函數的極值，從而修改了題目的條件，得到如下試題：

函數f(x)=x+bex(b為常數)有兩個零點x1,x2.

(Ⅰ)求實數b的取值范圍；

(Ⅱ)證明：x1+x2>2.

試題評析：本題重點在于對邏輯推理、數學運算等數學素養的滲透，借助函數問題的研究考查本質的數學思想和方法.換元法是編擬試題的一種常用方法，在數學命題中通過換元，可以改變試題的“包裝”條件、結論的表述形式、提升或降低試題難度等.在本題的命制過程中，采用換元的方法，將一道含對數函數的問題改編為含指數函數的問題，得到一道“煥然一新”的試題，具有明確考查目標，能根據考查意圖合理調整條件與設問，從而使試題自然不造作.本題表述簡潔，解法多樣，有內涵，考查面廣，滲透考查邏輯推理、運算求解等數學核心素養，是能力思想的重要體現.

三、立足數學素養的提升，培育創新能力

例3 已知函數f(x)=lnx-kx+k.

(Ⅰ)若f(x)≥0有唯一解，求k值；

命制過程：著眼數學素養的提升，欲命制一道函數不等式問題作為理科壓軸試題，故設想函數背景適當復雜，可含有指數函數、對數函數及冪函數等形式，基于上述想法，本題從(Ⅱ)問的設置開始.

設想三：適當增加解題的難度，引入參數a，當a≤1時，證明不等式ex-xlnx>ax2+1，接下來的問題就是，高中現階段，學生能否利用所學知識進行證明，證明過程中是否會出現高中現階段無法解決的情況、難度過大或難度不夠等問題，于是命題者模擬學生進行解答.

圖1 圖2 圖3

設想五：(Ⅱ)問的不等式證明，若用到不等式lnx≤x-1進行放縮，則可簡化證明過程，故命題者想在(Ⅰ)問中設置與該不等式相關問題，為問題(Ⅱ)做鋪墊.構造函數f(x)=lnx-kx+1，討論f(x)的單調性，或f(x)=lnx-kx+k，f(x)≥0有唯一解，求k值.這兩種問法都可以考查到分類討論思想，而第二種問法可以讓學生更好的分析f(x)=lnx-kx+k的圖像及直接得出結論lnx≤x-1，至此確定(Ⅰ)問.

試題評析：本題關注學生學習差異，突出創新，探索數學核心素養考查的落地實踐，試題分步設問，(Ⅰ)問中的函數f(x)=lnx-kx+k是學生較為熟悉的，從而降低了對學生心理沖擊，進而提高試題的效度.通過題目的設問，充分考查多種數學思想，通過對“唯一性”的研究，考查思維的嚴密性，實現了知識與能力的雙重檢測.而(Ⅱ)問則將函數與不等式有機結合，對計算難度，思維深度的要求逐步提高，層次分明，差異創新，能較好的達到設計預想.試題對學生的數學素養提出較高要求，無論是推理還是運算，區分度高，讓學生思維廣度和深度都得到充分發展.

在試題命制過程中，如何探索數學核心素養從理念到實踐的落地，問題是載體，構思是關鍵，引導是路徑，提升是目標.函數導數試題屬于綜合性較強的問題，對其進行合理化設計，可以發揮重要的作用.多種數學核心素養是交叉互相滲透，不能絕對化割裂開來，素養是綜合的體現，通過對試題的學習探究是提升學生數學學習能力和核心素養的主要途徑.因此通過試題命制過程的研究不僅對教師，而且對學生來說都是有意義的，也是很有價值的.