“一圖多題”的解法及變式賞析

江蘇省海安市實驗中學 (226600)

潘新峰

一、題目呈現與分析

分析：題目雖然簡短，但是信息量不少：斜ΔABC、重心、AG⊥BG、三角等式.題目是以圖形為背景的三角函數題，數學知識方面主要考查三角恒等變形和三角形中邊角關系的運算，三角形中正、余弦定理及其相關運算等；數學思想方面主要考查轉化與化歸，數形結合等思想.綜合考查考生邏輯思維、轉化、推理及運算等方面的能力.

圖1

本題是填空題的壓軸題，需要考生在較短的時間內完成，考生必須迅速找到解題切入口，理清思路，逐步推進，做出答案.試題的解題方法不單一，為考生的解答提供廣闊的想象空間，試題的設置使得考生不僅需要了解高中多章節的數學知識，而且要求考生會利用化歸與轉化等思想，尋找合理的解題策略，對學生的推理論證能力有較高的要求.本題區分度高，作為高三數學試卷填空題的壓軸題，是一道能突出選拔功能的好題.

二、解法賞析

視角1：設邊算角

評注：在直角三角形中利用對邊比鄰邊求出小角的正切，進而利用正切的和角公式求出tanA、tanB、tan(A+B)=-tanC，最后求出實數λ的值.

圖2

視角2：算邊算角

三、變式賞析

變題1 已知點G是斜ΔABC的重心，且AG⊥BG，則sinC的最大值為.

三、結語

“一圖多題”中從不同的視角思考問題,這充分體現高考數學題的一道試題往往考查多種能力、多種數學思想；同時，高考題在命制時充分考慮考生數學能力的差異，不少試題的解答方法不是唯一，在平時的訓練中，利用一題多解，給學生提供較大的思維空間；在平時的選題時，題目要貼切教學實際，重視數學的基本能力與思想方法訓練，所以，我們在平時的學習和訓練中重視知識的儲備和方法的積累，才有可能迅速切入，找到解題的突破口，達到事半功倍的效果.