夾逼法則解題例說

浙江省金華市第六中學 (321000)

虞 懿

例2 定義在R上的函數f(x)，均有

解析：由f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016，所以f(x+1)≥f(x)+1①,又利用①式得f(x)+2016≥f(x+2016)=f(x+2015+1)≥f(x+2015)+1=f(x+2014+1)+1≥f(x+2014)+2≥…≥f(x+1)+2015，所以f(x+1)≤f(x)+1②,由①、②得f(x+1)=f(x)+1，從而an+1-an=1，所以a2018=a1+(2018-1)×1=2019.

評注：本題由遞推關系，通過迭代得到f(x+1)≥f(x)+1且f(x+1)≤f(x)+1，再利用“夾逼法則”將不等式轉化為等式.

例3 若實數x,y滿足2x-3≤ln(x+y+1)+ln(x-y-2)，則xy=.

評注：借助不等式lnx≤x-1(x>0)是順利求解本題的關鍵.

例5a,b為實數，不等式|x2+ax+b|≤|x2-7x+12|對一切實數x都成立，則a+b=.

解析：因為x2-7x+12=(x-3)(x-4)，所以在|x2+ax+b|≤|x2-7x+12|中，令x=3與x=4得9+3a+b=0和16+4a+b=0，解得a=-7,b=12，所以a+b=5.

評注：題中有兩個參數,但只有一個絕對值不等式,要求我們求出參數的值,這似乎有點“山重水復疑無路”.但通過合理賦值可得不等式|9+3a+b|≤0與|16+4a+b|≤0，這樣就夾出了兩個方程9+3a+b=0和16+4a+b=0,真可謂“柳暗花明又一村”.

“夾逼法則”體現了數學的對稱美，借助夾逼法則解題，方法精巧，思路獨特.不等與相等是既對立又統一的兩個概念，“夾逼法則”有力地將它們統一起來，從而有效地將不等關系轉化為相等關系,使一些看似復雜的問題迎刃而解.