利用投影法破解數量積最值問題

浙江省金華市第六中學 (321000)

張劍平

高中數學平面向量教學對投影的應用沒有引起足夠的重視，大部分教師在復習平面向量的數量積這一章節，只會輕描淡寫的講解投影的定義.向量作為代數與幾何的紐帶，素有數形結合的橋梁之美稱，在中學數學具有廣泛的應用，正由于其兼備“數”與“形”的雙重身份，數量積具有豐富的背景內涵，加之解法靈活多樣備受命題者青睞，問題設置由定向量的數量積到動向量數量積的最值或者取值范圍，難度越來越大，解決的辦法通常有：坐標法、基底法、構圖法、極化恒等式等，如果我們從新的視覺——投影來思考，很多高難度的數量積問題將迎刃而解，下面舉例說明如何利用投影法破解一類數量積問題，供讀者參考.

一、平面向量的投影

人教A版教材必修4對投影作出如下定義：

圖1

圖2

二、應用舉例

分析：如果用坐標法需要引入參數角，利用三角函數的性質求數量積的范圍，如果從投影角度來思考，只要選好投影軸，很快可以解決問題.

圖3

圖4

A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1

C.I2>I1>I3D.I3>I1>I2

分析：很多考生感覺無從下手，有考生嘗試建立坐標系，求相關的直線方程，設點的坐標，進而利用數量積公式運算，到最后比較數量積的大小還是非常困難.如果能從投影角度來思考，選好投影軸，并取動點的特殊位置，問題將快速破解.

解：如圖4，選OA3為投影軸，當P1與A1重合，P2與A2重合時，P3與A3重合時，假設正三角形的邊長為2，根據投影的定義可求I1=6,I2=12,I3=10.故選B.

圖5

=4sin2θ+8cos2θ+8=

分析：此題的常規解法是以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建系，設O(x,y),可求點O的軌跡方程為圓的方程，利用圓的一些幾何性質和數量積的坐標公式，最終轉化為函數的最大值問題.如果從投影角度出發，問題將轉為一個平面幾何問題，簡答過程也將簡化.

圖6

分析：此題的常規解法仍然是以O為原點建系，設A(a,0),B(0,b),利用圓的參數方程設點C0(a+2cosθ,2sinθ),利用數量積公式把問題轉化為關于a,cosθ二元函數的最值問題，仍然是個比較難的二元最值問題.如果從投影角度思考，結合幾何意義將快速破解此題.

圖7

三、結語

平面向量數量積是高考考查的重點內容之一，充分利用平面向量數量積的幾何意義，利用投影法解決一類數量積最值問題，真正實現對數學知識的融會貫通，注重知識之間的相互聯系，挖掘隱性知識，學會用不同的視角觀察問題、分析問題、解決問題.教師在教學過程中引導學生對典型例題一題多解，深度挖掘，觸類旁通，認識清楚問題的本質，可以使學生的解題思路更加開闊，提高解題速度，全面提高學生的知識水平、核心素養和思維品質.