高中數(shù)學中條件最值的求法探究

遼寧省盤錦市遼東灣實驗高級中學 趙盼盼

條件最值是指在某些約束條件下的最值。在大學數(shù)學中，對于多元函數(shù)在約束條件下的最大（小）值，常用拉格朗日乘數(shù)法，先求條件極值，再具體判斷該條件極值是否是所求的條件最值。在高中數(shù)學中，學生并未學習到拉格朗日乘數(shù)法，但這并不表示某些條件最值在高中階段不能解答。下面通過例題介紹條件最值在高中數(shù)學中常用的解題方法。

【總結(jié)】 本題是把求最值的函數(shù)進行變形，然后利用常數(shù)代換。常數(shù)代換時對條件又進行了簡單變形，目的是使乘積為定值。

例2 若正數(shù)x，y滿足x+4y=xy，求x+y的最小值。

故此函數(shù)的最小值是9。

故此函數(shù)的最小值是9。

【總結(jié)】 解法一是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用均值不等式求最值；解法二是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，將條件最值轉(zhuǎn)化為無條件最值，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解。

解：因為x＞0，y＞0，所以，當且僅當x=3y時等號成立。

設x+3y=t＞0，則t2+12t-108 ≥0，所以（t-6）（t+18）≥0，

又因為t＞0，則t≥6。故當x=3，y=1 時，x+3y的最小值是6。

【總結(jié)】 本題中是對條件使用均值不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解。

本文通過例題講解了在高中數(shù)學中求條件最值的三種方法，其中，均值不等式起到了很大的作用。應用均值不等式時，一定要注意不等式成立的條件“一正、二定、三相等”。在求解條件最值問題時，掌握有效的變形技巧，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。