數形結合在初中數學教學中的應用

江蘇省昆山市石牌中學 王維娟

數學不僅需要研究數量關系，還要研究圖形，二者存在著對立和統一的關系，宇宙萬物無不是數和形的矛盾統一。對此，國內外有很多專家對于數形結合都有著深刻的見解。我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休?！睌祵W中的很多概念、法則、公式、定理都與一定的空間形式密切聯系。數形結合是具體和抽象的結合，是形象思維和抽象思維轉化的橋梁，是邏輯含義和空間表達形式的展現。在拉格朗日的《數學概要》中描述：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就是緩慢的，應用就狹窄，但當這兩門學科結成伴侶后，它們就互相汲取新鮮的活力，從此便以快速的步伐走向完善?！?/p>

初中階段正是學生打基礎的階段，教師應該重視數形結合的思想，通過多種方法不斷滲透到教學中。基于此，本文立足于初中數學教學，結合本人教學時的體會，對數形結合方法和思想進行相關的探討。

我們所接觸到的初中數學中，數形結合在不等式、數列、最值問題、函數和解析幾何等多方面都有涉及。

一、數形結合在不等式中的應用

例1：求不等式 |x+2|+|x-3| ＞5 的解集。

分析：這是一個絕對值不等式問題，既涉及了絕對值的知識點，還涉及了不等式里的知識點。

記數軸上表示數-2 的為點A，表示數3 的點為B，記表示數x的點為C，點C是數軸上的一個動點。“數軸”是初中數學中最基本的數形結合，也是初中數學中最早運用數形結合的一個例子。絕對值表示數軸上的一個點到原點的距離，而用兩數的差的絕對值表示數軸上兩點之間的距離。根據題意，畫出簡易數軸：

我們可以發現，點A和點B將數軸分成了三段，根據動點C的三個不同位置畫出三種不同情況下的數軸再一一進行分析。此時，這個問題就轉化為線段CA+CB＞5 的題目了。

通過觀察三張圖可以發現：當點C運動到點A和點B之間時，線段CA+CB=5；當點C運動到點A的左邊或者點B的右邊時，線段CA+CB＞5。

所以，我們就有結論：當-2 ≤x≤3 時，|x+2|+|x-3|=5；當x＜-2或x＞3 時，|x+2|+|x-3|＞5。

二、數形結合在二次函數中的應用

例2：已知點A（-1，y1）、B(-3，y2)、C(-2，y3)、D(1，y4)在函數y=x2+2x+2 的圖像上，比較y1、y2、y3、y4的大小。

分析：我們已經學過了二次函數的圖像，根據函數表達式畫出函數圖像，描出A、B、C、D這四個點的相應位置。那么，要比較y1、y2、y3、y4的大小就是看這四個位置的高低。如圖所示：

通過圖像，我們就可以馬上看出y1＜y2＜y3＜y4。用這樣的方法解決問題，就使得數學更形象、更直觀，數學就不那么枯燥了，數學也有美的一面，也讓那些后進的學生感覺到數學很有趣。

三、數形結合在數列計算中的應用

分析：我們可以這樣解：

我們還可以試著通過圖形來理解。畫一個正方形，把這個正方形一分為二就得到，把其中一半再一分為二就得到，把的一半再一分為二就得到……畫完圖形之后我們可以發現：這些全部加起來就是用整個正方形減去右下角的最后一塊小正方形，也就是。如圖所示：

這樣的方法既簡單又直觀，容易理解，同學們一看就知道了，充分展現了數形結合的優勢和奇特之處。

四、數形結合在勾股定理中的應用

分析：對于初中生來說，這種類型的題目是非常新穎的，以前沒有見到過。同樣，我們可以根據題意，構造一個圖形，將題目轉化成圖形來解決。

此時，上述問題就轉化成求AC+CE的最小值的問題了。到了這一步，同學們很容易想到：兩點之間線段最短。要求AC+CE的最小值，只需要連接AE，線段AE 與線段BD 的交點就是動點C 的位置。此時AE 的長度就是AC+CE 的最小值。如圖所示：

之后，過點A作AF平行且等于BD，連接BF，則在直角三角形AFB中，利用勾股定理即可求出線段AE的長度，也就是線段AC+CE的最小值。如圖所示：

如此，運用圖形將學生束手無策的最小值問題轉化成了熟悉的勾股定理的問題，不僅方便同學們理解，還降低了計算的難度，提高了做題的正確率。

在教學過程中，老師應鼓勵學生多利用圖形去研究、探索問題，培養學生的創造性思維和開放性思維，使同學們對數學學習更有興趣。

總之，作為一名初中數學教師，應該在傳授知識的同時，提高學生數形結合的能力，從“數”的方面、“形”的方面深化理解，形成直覺思維，從而順其自然地找到解題方法。在日常教學的過程中，教師要盡量利用多媒體教學，充分體現數字和圖形之間的聯系和變化規律，使學生理解更深刻，更靈活地掌握方法，充分觀察圖像，不管是靜態的還是動態的圖像，對它們的特點觀察得越仔細，思考得越深入，那么認識也就比較深刻，這樣遇到相關聯的情景時才能夠產生靈感，找到切入點解決問題。

當前，素質教育已經成為主流，對學生進行綜合素質和能力的培養是建設創造性人才的需要。擁有創造性思維的人，才能更好地在各自的領域內有所創新，推動科學技術和社會向前發展。教師應該發揮外因的作用，積極引導學生的興趣，發揮學生自主學習的內在動因，學生才能長久受益。