混合分數(shù)Brownian運動下美式期權(quán)定價

韓 嬋，孫玉東

(1.西安建筑科技大學 華清學院，西安 710043；2.貴州民族大學 理學院，貴陽 550025)

美式期權(quán)是金融學的重要研究內(nèi)容,也是金融市場上常見的金融衍生產(chǎn)品。由于美式期權(quán)具備提前實施條款,賦予了投資人更多權(quán)利,交易起來更加靈活,更容易受市場的青睞，因此對美式期權(quán)的價值分析也更具市場指導(dǎo)意義。

由于美式期權(quán)難以定價,有關(guān)美式期權(quán)定價的精確解析結(jié)果還未見文獻報道,針對美式期權(quán)的研究主要集中在近似解和數(shù)值方法。常見的美式期權(quán)定價的數(shù)值方法有有限差分法[1-2]、二叉樹方法[3-4]、三叉樹方法[5]。有關(guān)美式期權(quán)價格的近似結(jié)果也有一些研究成果。文獻[6]采用鞅方法研究了美式期權(quán)定價問題,得到了美式期權(quán)價格的一個半解析近似公式。文獻[7]采用Barone-Adesi 和 Whaley在文獻[8]中提供的近似計算方法,給出了美式期權(quán)的近似結(jié)果。

上述文獻給出的近似結(jié)果結(jié)構(gòu)復(fù)雜,常常難以使用。本文利用自融資策略的交易費用調(diào)整方案,給出了混合分數(shù)Brown運動驅(qū)動的Black-Scholes模型下美式期權(quán)的一個近似公式,該公式給出的結(jié)果更加簡便靈活。

1 金融市場數(shù)學模型

美式期權(quán)具備提前實施的權(quán)利,若投資人沒有提前實施期權(quán),那么美式看跌期權(quán)在到期日的現(xiàn)金收益為

F(T)=max{K-S(T),0}

其中：K表示期權(quán)合約在0時刻約定的執(zhí)行價格；T表示到期時間；S(T)表示風險資產(chǎn)在到期日的市價,滿足隨機微分方程

dS(τ)=rS(τ)dτ+σS(τ)dM(τ),

τ∈(t,T)

(1)

這里非負常數(shù)δ表示混合比例系數(shù),假定當前時刻是t時刻,則S(t)=s已知。根據(jù)風險中性定價策略,收益為式(1)的理財產(chǎn)品的價值為

V(t,S)=exp{-r(T-t)}E[F(T)]

(2)

其中：r表示銀行的無風險利率；q表示紅利率。再利用Feymann-Kac公式,在Black-Scholes模型(1)下?lián)p益為f(T)的美式期權(quán)的價值P(t,S)適合變分不等式

(3)

其中

同時相應(yīng)的歐式期權(quán)的價值滿足拋物方程

(4)

類推文獻[9-10],拋物方程(4)的解為歐式期權(quán)在t時刻的價值P(t,S)為

p(t,S)=Kexp{-r(T-t)}N(-d2)-

sexp{-q(T-t)}N(-d1)

(5)

其中：

同理歐式看漲期權(quán)在t時刻的價值為

c(t,S)=sexp{-q(T-t)}N(d1)-

Kexp{-r(T-t)}N(d2)

(6)

以下考察美式期權(quán)和歐式期權(quán)的關(guān)聯(lián)性,并依此給出兩種美式期權(quán)的價格。

2 美式期權(quán)定價

考察投資人的財富過程{X(t),t≥0},為了方便論述用π(t)表示投資人在t時刻投資于風險資產(chǎn)的份額,那么他投資于無風險資產(chǎn)的份額為X(t)-π(t)。稱投資組合π(t)是自融資策略,若

(7)

其中{B(t),t≥0}表示單位資產(chǎn)按照無風險利率r的連續(xù)復(fù)利過程

dB(t)=rB(t)dt,B(0)=1

(8)

將式(1)和式(8)代入式(7),則財富過程滿足

dx(t)=[rX(t)+(μ-r)π(t)]dt+

(9)

假定市場存在摩擦,即交易存在費用,若資產(chǎn)X(t)的費用率為con(t),則式(9)可以被改寫為

dx(t)=[rX(t)+(μ-r)π(t)-con(t)]dt+

(10)

類推文獻[9-12],式(10)結(jié)合投資組合的自融資策略,歐式看跌期權(quán)的價值滿足

(11)

相比于歐式期權(quán),美式期權(quán)給投資人提供了提前實施的權(quán)利,從而美式看跌期權(quán)的價值P(t,S)比相應(yīng)歐式看跌期權(quán)的價值p(t,S)要高,即

P(t,S)≥p(t,S)

(12)

注意根據(jù)自融資策略,美式期權(quán)的價值可以被自融資組合復(fù)制,即p(t,S)=X(t)。本文將投資人不提前實施美式期權(quán)造成的損失視為相應(yīng)歐式期權(quán)的交易費用,則

P(t,S)+con(t)=p(t,S)

進一步假設(shè)美式看跌期權(quán)對應(yīng)投資組合價值的費用率為α(t),則(1)此處構(gòu)造的是美式看跌期權(quán)的投資組合,由于市場是無套利的,美式期權(quán)組合價值和歐式期權(quán)組合價值應(yīng)當相等,否則市場會產(chǎn)生套利,這里統(tǒng)一記為X(t)。

X(t)=P(t,S)+con(t)=p(t,S)

從而

c(t)=α(t)X(t)=α(t)(P(t,S)+con(t))

其中α(t)∈(0,1),整理之后有

重復(fù)式(5)的計算過程,可得帶有紅利支付的美式看跌期權(quán)在t時刻的價值為

(13)

依此類推,帶有紅利支付的美式看漲期權(quán)的價值為

3 實證分析

在式(13)中,參數(shù)φ未知,它可以根據(jù)市場已有數(shù)據(jù)進行估計。例如掛鉤于同一風險資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的平均價格是95,相應(yīng)的美式期權(quán)的平均價格為100,假定無風險利率為5%,利用式(13),有

解之得φ=0.525 624 2。由于歐式期權(quán)易于定價(見式(5)),此時可以利用式(13)和已知的歐式期權(quán)價格計算美式看跌期權(quán)價值。例如當前時刻歐式看跌期權(quán)的市價為80美元,則相應(yīng)的美式看跌期權(quán)的價值為

解之得φ=0.556 675 5。若當前時刻掛鉤于該風險資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的價格為10美元,則相應(yīng)美式看跌期權(quán)的價值為

表1 掛鉤同一風險資產(chǎn)的兩種期權(quán)的匹配數(shù)據(jù)

圖1 兩種期權(quán)的散點圖及一元擬合結(jié)果