關于對統計推斷中抽樣分布的總結及判別

曲天堯

摘要：數理統計是一門以概率論為理論基礎，研究隨機現象統計規律性的數學學科。在經濟全球化和信息化的今天，經濟、管理等學科領域越來越側重數理統計的應用，尤其是在大數據時代下，統計數據浩如煙海，數理統計的地位就更加凸顯。隨著社會的發展，推斷統計已經取代傳統的描述統計，成為現代統計的核心，而抽樣分布作為統計推斷的開篇內容，同時也是連結概率論與數理統計的橋梁，因此在統計推斷中占據重要地位。本文主要對統計推斷中常用的抽樣分布及其應用作總結，并結合例題對統計量的抽樣分布作出合理地判別。

關鍵詞：簡單隨機抽樣;正態分布;χ2分布;F分布;t分布

一、基本概念

（一）總體與個體

在數理統計中，總體就是研究對象的全體，個體即為構成總體的每個成員。對應到概率論中，總體是一個分布，總體的相關數量指標是服從這個分布的隨機變量。

（二）樣本

樣本是對應于總體而言的。為了深入了解總體X的分布，從總體X中隨機抽取的n個個體即為樣本。樣本具有二重性：一方面，由于樣本是從總體中隨機抽取的，在抽取前它們的數值是未知的，所以樣本是隨機變量，可以記為X1，X2，...，Xn;另一方面，樣本在抽取后經觀測就可以得到相應的觀測值，所以樣本又可以說是一組數據，用x1，x2，...，xn表示。在本文中，樣本用X1，X2，...，Xn表示，而x1，x2，...，xn表示相應的樣本觀測值。

（三）簡單隨機抽樣

簡單隨機抽樣是數理統計中最常用的一種概率抽樣方法。簡單來講，簡單隨機抽樣要求在每次抽取中，所有待抽取的個體均具有相同的可能性被抽中。具體來說，簡單隨機抽樣要求樣本具有隨機性和獨立性。利用簡單隨機抽樣方法所得到的樣本即為簡單隨機樣本，本文所涉及到的樣本都是簡單隨機樣本。

（四）統計量與抽樣分布

假設X1，X2，...，Xn是取自總體X，容量為n的樣本，若樣本函數T=T（X1，X2，...，Xn）中不含有任何未知參數，那么T就是統計量。換言之，統計量就是把樣本加工成函數，統計量的分布就是抽樣分布。

在數理統計中，常見的統計量主要有樣本均值、樣本方差與標準差、樣本矩、次序統計量等。本文涉及到的統計量主要是樣本均值、樣本方差與樣本標準差，其計算公式如下：

公式

其中，X、S2、S分別表示樣本均值、樣本方差及樣本標準差。根據無偏性的要求，本文中的樣本方差指的是修正樣本方差S，而并非未修正樣本方差公式。

二、抽樣分布的基本理論

（一）正態分布正態分布是概率論中連續型隨機變量最常見的一種

分布，它也是后面三大抽樣分布的理論基礎。設隨機變量X～N（m，s2），則其密度函數j（×）、分布函數Φ·（）分別為

公式

其中，-?0。

對于一般的正態變量都可以通過一個線性變換，使其服從標準正態分布，即若設正態變量X～N（m，s2），則有

公式

下文中采用的是上側a分位數。

在統計推斷中，正態分布主要應用于推斷正態總體的均值。對于單個正態總體而言，當樣本容量n≥30時，或者當樣本容量n<30但總體方差σ已知時可以利用正態分布。若設x1，x2，...，xn是來自總體X～N（m，s2）的樣本，樣本均值為X，且n330，則有

公式

對于兩個正態總體而言，不妨設x1，x2，...，xn1，Y1，Y2，...，公式

的樣本，樣本均值分別為X和Y，并且n1，n2330，則有公式

（二）c分布

假設總體X～N（0，1），X1，X2，...，Xn是取自總體X，容量為n的樣本，則統計量

公式

關于c2分布的定義，也可以這么理解：若設x1，x2，...，xn是取自總體X～N（0，1）的樣本，令Y=X2，相應的樣本函數為Y=X2，則

公式

獨立且同分布，這樣便可輕易求得c2分布的數字特征：

公式

當n很大時，根據中心極限定理可知

公式

x^分布是一種非負連續型隨機變量的分布，具密度

函數的圖形位于第一-象限，峰值向左偏，隨著n的增大，峰值將會向右移動。x'分布的上側a分位數定義如下

公式

其中，fx（）表示x2分布的密度函數。

在統計推斷中，x2分布主要應用于推斷單個正態總體的方差，即若設.....。是來自總體x～N（μ，σ2）的樣本，樣本方差為S，則有

公式

（三）F分布

假設X～x*（m），Y～x2（n），并且X與Y相互獨立，則統計量

公式

就是服從第--自由度為n，第二自由度為n2的F分布，記為F～F（n，m2）

F分布也是-.種非負連續型隨機變量的分布，其密度函數含有兩個參數n和n2，密度函數曲線的形狀與x2分布相似。F分布的上側a分位數定義如下

公式

其中，fr（：）表示F分布的密度函數。

在統計推斷中，F分布主要應用于推斷兩個正態總體的方差之比，即若設Xi，y，是分別來自兩個獨立的總體X～N（A，σ）和Y～N（14，σ2）的樣本，樣本方差分別為

公式

其中，i12.2...，.2=..特別地，如果σ=σ：則有

公式

（四）分布

假設X～N（0，1），Y～x2（n），并且X與Y相互獨立，則統計量

公式

就是服從自由度為n的t分布，記為t～t（n）。根據t分布的定義可得

公式

分布是-一種連續型隨機變量的分布，其密度函數的圖形關于直線x=0（y軸）對稱，形狀與標準正態分布曲線相類似。當自由度n足夠大（n≥30）時，t分布就可以用標準正態分布近似代替。但對于較小的n，t分布與標準正態分布相差較大。t分布的，上側a分位數定義如下

公式

其中，f，（）表示t分布的密度函數。

與正態分布類似，在統計推斷中，t分布主要應用于推斷正態總體的均值。對于單個正態總體而言，當樣本容量n<30且總體方差σ未知時便可運用t分布。。若設.2...X。是來自總體X～N（u，σ2的樣本，樣本均值為義，且n<30，則有

公式

對于兩個正態總體而言，不妨設xX.，....川，.，.....是分別來自兩個獨立的總體X～N（n，σ}）和Y～N（μ2，σ3）的樣本，樣本均值分別為x和Y，并且幾，”2<30，如果o}，o;未知但相等，即o？=σ3=σ2，則有

公式

其中，s：是σ和吃的合并估計量，且有

公式

如果o，σ3未知且不相等，即σ°≠σ3，則有

公式

此時的自由度D滿足

公式

三、對抽樣分布的總結

公式

通過對抽樣分布經典模式的分析可以看出：正態分布是理論基礎，x2分布、F分布以及t分布都是在正態分布的基礎。上衍生而來，于是便有了如下的三個關系

公式

四、對抽樣分布的判別

在實際中，除了要理解這幾個抽樣分布的經典模式之外，還要對統計量所服從的抽樣分布作出合理地判別。

例1設x，X，X，x是來自總體x～N（，σ2）（σ>0）的簡單隨機樣本，試判斷統計量.X-X-所服從的分

|X;+X.-2|

布。

解：由題意可得

公式

例2設X，Xx，X，是來自總體X～N（0，σ2）（σ>0）的簡單隨機樣本，試判斷統計量2X，-X，

√2|x，|所服從的分布。

解：根據題意得

公式

例3設x..x（n≥2）是來自總體x～N（1，1）的簡單隨機樣本，記x=-Zx，則下列結論中不正確的是（）

公式

因此，本題應選B。

參考文獻

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