基于（r，Q）策略的易腐品M/M/1/N排隊庫存系統

張鶴

摘 要：基于（r，Q）訂貨策略研究了易腐品的M/M/1/N庫存模型。假設顧客的達到時間間隔，服務時間，易腐品壽命，進貨時間都服從指數分布，首先，利用擬生滅過程理論得到了系統的穩態平衡條件，然后利用矩陣幾何解得到了系統的穩態概率，從而得到了一些系統的性能指標，最后，利用系統的性能指標得到成本函數，再利用遺傳算法求解了模型的最優庫存策略。

關鍵詞：易腐品；（r，Q）策略；擬生滅過程；矩陣幾何解；遺傳算法

中圖分類號：TB 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.33.103

1 引言

易腐性產品是指那些必須在有限時間內售出，否則將發生變質、損壞、揮發、過期且必須進行清倉處理的商品，其顯著特點是在儲存和流通的過程中其數量會因為變質、揮發、失效等而逐漸減少。如生鮮食品，水果，蔬菜，牛奶，鮮花，藥品等，存儲過程中隨存儲時間的增加，商品會因為發生腐爛、變質等原因使得數量減少。目前我國的易腐性產品在流通過程中造成的各種損失非常大，每年易腐產品造成的各種損耗之和高達千億。所以對易腐品庫存系統的分析是很重要的，易腐品的庫存問題也引起了廣大學者的關注。

Schwarz等研究了分別基于隨機訂購策略，（r，Q）策略，（s，S）策略，等待空間有限或無限的排隊庫存系統，給出了每個系統的平穩分布。Sivakumar研究了基于（s，S）策略的顧客源有限的易腐品庫存系統，在穩態情況下，給出了庫存水平和需求量的聯合概率分布。推導了各種系統性能指標，并用數值方法對結果進行了說明。Manuel等研究了基于（s，S）策略的等待空間有限的兩類顧客的易腐品庫存系統，給出了系統的各種性能指標以及成本函數并求解。Ravichandran研究了基于（s，S）策略具有馬爾可夫需求，Erlangian壽命和損失銷售的連續盤點易腐庫存系統，給出了系統的性能指標以及成本函數。Mohamed 等基于（r，Q）策略研究了具有不耐煩顧客的易腐庫存系統的服務率最優控制問題，利用線性規劃算法對平穩最優策略進行了計算，并給出了數值算例。Perry和Stadje基于（S-1，S）策略研究了具有有限等待空間的延期銷售的易腐品庫存系統，給出了成本函數并求解。Melikov和Shahmaliyev研究了基于（S-1，S）策略等待空間有限的延期銷售的易腐品庫存系統，給出了系統的性能指標以及數值結果，解決了成本最小的優化問題。

上述文獻多是基于（s，S）策略或是（S-1，S）策略進行研究，本文基于（r，Q）訂貨策略研究了易腐品的M/M/1/N庫存模型。第二節給出了模型的描述，第三節求解了系統的平衡條件，第四節利用擬生滅過程求出了系統的穩態概率向量，第五節給出了系統的性能指標，第六節利用遺傳算法求解出成本函數的最優解，第七節給出了結論。

2 模型描述

模型的基本假設如下：

顧客需求的到達時間間隔服從參數為λ的指數分布，顧客到達后按到達先后順序形成一個隊列，并且等待空間是有限的，若系統中有N個顧客，其他顧客將不會進入隊列。每位顧客的需求量為一個單位的庫存。

系統中只有一個服務員，采用先到先服務的服務規則。服務需要一定的時間，服務時間服從參數為μ的指數分布。商品的壽命服從參數為θ的指數分布，商品變質后不能出售，庫存數量相應減少。

系統采用（r，Q）進貨策略，即當系統的庫存水平下降到安全水平r時，系統立即向供貨商發出訂貨請求，每次訂貨量為Q，進貨時間服從參數為β的指數分布。

系統是延期銷售的，即當庫存為零時，允許顧客可以進入系統進行等待。需求到達，服務過程和進貨過程是相互獨立的。

3 系統平衡條件

3.1 狀態過程

我們規定系統的狀態過程為{X（t），Y（t）；t0}，其中X（t）表示t時刻系統中的顧客數量，Y（t）表示t時刻的庫存數量。

狀態空間為：

Ω=i，j，0

3.2 系統平衡條件

根據擬生滅過程定義可知過程{X（t），Y（t）；t≥0}是擬生滅過程，令F=B+C+D，有

所以，公式（1）就是系統到達穩態平衡的充分必要條件。πDα表示系統中顧客的到達率，πCα表示系統庫存不為零時的服務率，即當系統的到達率小于服務率時系統到達穩態平衡。

4 矩陣幾何解

定義穩態概率為：

第三步：由公式（2）和方程組（3）可得系統的穩態概率向量。

5 穩態性能指標

5.1 平均等待隊長

Elq=∑N-1i=1∑r+Qj=0iPi+1，j

=∑N-1i=1iPi+1e2

=P0RI-RN-1I-R-2-N-1RN-1I-R-1e2

5.2 平均庫存

Ei=∑Ni=0∑r+Qj=0jPi，j=∑Ni=0Pie3=P0（I-RN+1）I-R-1e3

其中e3=0，1，…，r+QT

5.3 平均訂貨率

Ep=∑Ni=0∑rj=0βjPi，j=∑Ni=0βPie4=βP0（I-RN+1）I-R-1e4

其中e4=（a，b）T，a是r+1維的行向量，所有元素都是1，b是Q維行向量，所有元素都是0。

5.4 平均庫存損失率

Er=∑Ni=0∑r+Qj=0θjPi，j=∑Ni=0θPie3=θP0（I-RN+1）I-R-1e3

（5）顧客平均損失率

Eli=λ∑r+Qj=0P（N，j）=λPNe2=λP0RNe2

6 成本分析

系統的成本假設主要由顧客平均等待成本，庫存保管成本，每次訂貨成本，產品腐壞成本和顧客損失成本組成。假設每位顧客平均等待成本是C1，單位時間單位庫存的保管成本是C2，單位時間每次訂貨成本是C3，單位時間產品腐壞成本是C4，單位時間顧客損失成本C5。所以系統的成本函數是：

Cr，Q=C1El+C2Ei+C3Ep+C4Er+C5Eli

遺傳算法是模擬達爾文生物進化理論中自然選擇和遺傳機制的計算模型，是一種通過模擬自然進化過程來尋找最優解的方法。本文采用[13]中的遺傳算法來進行最優解的搜索，具體步驟如下：

第一步：初始化：設置進化代數計數器t=0，設置最大進化代數T，隨機生成M個個體作為初始群體P（0）。

第二步：個體評價：計算群體P（t）中各個個體的適應度。

第三步：選擇運算：將選擇算子作用于群體。選擇的目的是把優化的個體直接遺傳到下一代或通過配對交叉產生新的個體再遺傳到下一代。

第四步：交叉運算：將交叉算子作用于群體。判斷個體的有效性，如果是有效個體，則保留；如果是無效個體，則隨機生成一個交叉位置進行交叉，直至有效。

第五步：變異運算：將變異算子作用于群體。判斷個體的有效性，如果是有效個體，則保留；如果是無效個體，則隨機生成一個交叉位置進行交叉，直至有效。

第六步：對新種群適應度評價，找到最好的染色體，將它與上一次進化中最好的染色體比較，記錄每一代進化中最好的適應變和平均適應度。

第七步：終止條件判斷：如果滿足算法終止的條件，輸出當前最優個體，算法結束；如果不滿足算法終止的條件，轉到第三步。

本文研究了λ，μ，θ，β對最優策略和最優成本的影響，令C1=2，C2=5，C3=20，C4=50，C5=15，N=50。

其中參數設置為λ=2，μ=5，θ=0.1，由表4可知，隨著β的增大，最優成本逐漸增大，最小庫存無明顯改變，訂貨量都逐漸減小。

7 結論

本文基于（r，Q）訂貨策略研究了易腐品的M/M/1/N庫存模型。根據系統符合擬生滅過程得到了系統的穩態平衡條件，采用矩陣幾何解方法得到了系統的穩態概率，從而得到了一些系統的性能指標，最后，利用系統的性能指標得到成本函數，再利用遺傳算法求解了模型的最優庫存策略，研究了系統各個參數對成本，最低庫存以及訂貨量的影響。

參考文獻

[1]S.K.Goyal，B.C.Giri.Recent trends in modeling of deteriorating inventory[J].European Journal of Operational Research，2001，134（1）：116.

[2]謝如鶴，劉霆保鮮鏈-食品鏈物流的后起之秀[J].中國物流與采購，2004，6：1416.

[3]M.Schwarz，C.Sauer，H.Daduna，R.Kulik，R.Szekli.M/M/1 Queueing systems with inventory[J].Queueing Systems，2006，54（1）：5578.

[4]B.Sivakumar.A perishable inventory system with retrial demands and a finite population[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，224（1）：2938.

[5]P.Manuel，B.Sivakumar，G.Arivarignan.A perishable inventory system with service facilities，map arrival and phservice time[J] Journal of Systems Science and Systems Engineering，2009，224：2938.

[6]N.Ravichandran.Probabilistic analysis of a continuous review perishable inventory system with Markovian demand，Erlangian life and noninstantaneous lead time[J].OR Spektrum，1988，10：2327

[7]H.Mohamed，A.Hamadi，N.Sangeetha，B.Sivakumar.Optimal control of service parameter for a perishable inventory system maintained at service facility with impatient customers[J].Annals of Operations Research，2015，233（1）：323.

[8]D.Perry，W.Stadje Perishable inventory systems with impatient demands[J].Mathematical Methods of Operations Research，1999，50：7790

[9]A.Melikov，M.Shahmaliyev.Analysis of Perishable QueueingInventory System with Positive Service Time and （ S-1，S ） Replenishment Policy[J]Information Technologies and Mathematical Modelling.Queueing Theory and Applications，2017：8396.

[10]M F.Neuts.Matrixgeometric solutions in stochastic models：an algorithmic approach[M].Baltimore：Johns Hopkins University press，1981.

[11]牛莉.負顧客造成服務率變化的M/M/1可修排隊[D].秦皇島：燕山大學，2012.

[12]郭興國.擬生滅過程平穩分布的計算實驗[D].上海：上海大學，2004.

[13]王小平，曹立明.遺傳算法一理論，應用與軟件實現[M].西安：西安交通大學出版社，2002.