基于擴(kuò)展觀測器的永磁同步電機(jī)快速積分終端滑模控制

陸園，朱其新，朱永紅

(1.蘇州科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江蘇蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇蘇州 215009；3.蘇州市共融機(jī)器人技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇蘇州 215009；4.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西景德鎮(zhèn) 333001)

0 前言

永磁同步電機(jī)由于結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量輕、體積小、運(yùn)行可靠、散熱良好、易于人工維護(hù)、傳輸效率高等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于高精度數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人、航空航天等領(lǐng)域[1-3]。由于電機(jī)模型的非線性，參數(shù)失配和轉(zhuǎn)矩脈動降低了伺服控制系統(tǒng)的跟蹤精度和穩(wěn)定性。同時，常規(guī)的控制方法(PI控制)易受到外部干擾和內(nèi)部參數(shù)不確定性的影響，從而使控制系統(tǒng)偏離期望目標(biāo)。

因此，在PMSM中已經(jīng)有多種非線性控制方法，例如滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)[3]、自抗擾控制[4]、自適應(yīng)控制[5]、預(yù)測控制[6-7]和狀態(tài)反饋控制[8-9]。在這些控制方案中，SMC策略備受關(guān)注。SMC是一種非線性魯棒方法，與其他高級控制方法相比，它保留了相對簡單的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)過程[10]。基于SMC強(qiáng)大的魯棒性、實(shí)現(xiàn)簡單、對匹配參數(shù)的擾動不敏感等優(yōu)點(diǎn)，可以通過頻繁切換系統(tǒng)結(jié)構(gòu)抑制系統(tǒng)參數(shù)變化和外部干擾來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的高性能控制[11-12]。

為實(shí)現(xiàn)有限時間收斂，ZAK[13]和MAN、YU[14]提出了終端滑模控制(Terminal Silding Mode Contral，TSMC)和積分終端滑模控制(Integral Terminal Silding Mode Contral，ITSMC)。CHIU[15]引入了符號和分?jǐn)?shù)積分終端模型，提出了不確定模型的積分終端滑模控制，并通過在遞歸結(jié)構(gòu)中結(jié)合導(dǎo)數(shù)和積分終端滑模，提出了2種導(dǎo)數(shù)-積分終端滑模控制方法，實(shí)現(xiàn)了高階MIMO系統(tǒng)的有限時間收斂，避免了控制器中的奇異問題。TSMC和ITSMC方法在機(jī)器人控制中[13，16]已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。此外，在存在不匹配干擾的情況下，TSMC的瞬態(tài)性能較差。LI 等[17-19]提出的ITSMC，通過在滑模變量中添加積分項(xiàng)設(shè)計(jì)終端滑模面，并實(shí)現(xiàn)有限時間收斂，同時仍保留SMC的魯棒特性。CHANG等[20]通過創(chuàng)新分?jǐn)?shù)誤差積分，在沒有奇異問題的情況下，可以實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差和積分誤差的有限時間收斂。 LI等[17]的研究表明：可以保證系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面，然后在有限的時間內(nèi)收斂到原點(diǎn)，同時通過使用ITSMC消除奇異性問題。ULLAH等[21]提出了匹配不確定性下運(yùn)行的四軸飛行器的完整飛行軌跡跟蹤控制律。LABBADI、 CHERKAOUI[22]設(shè)計(jì)了用于姿態(tài)控制的魯棒ITSMC控制器以及用于位置和高度的自適應(yīng)Backstepping。為了提高收斂速度和精度，LABBADI、 CHERKAOUI[23]在隨機(jī)外部干擾和參數(shù)不確定性的情況下，研究自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階非奇異快速終端滑模控制器的無人機(jī)。

為了進(jìn)一步提高永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)性能，本文作者提出一種快速積分終端滑模面(Fast Integral Terminal Sliding Mode Control，F(xiàn)ITSMC)，以提高傳統(tǒng)積分終端滑模控制在速度誤差遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時的跟蹤誤差收斂速度。然后，考慮到負(fù)載擾動的影響，設(shè)計(jì)一種基于雙曲正切函數(shù)(Hyperbolic Tangent Function，HTF)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(Extended State Observer，ESO)觀測擾動，并將它作為前饋補(bǔ)償部分加入到 FITSMC。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM調(diào)速系統(tǒng)在d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的定子電流方程表示為

(1)

其中：ud、uq和id、iq分別表示d和q軸的電壓和電流；R表示定子電阻；L表示定子電感；ed、eq表示電機(jī)反電動勢。

(2)

其中：Ld和Lq分別表示d軸和q軸電感；ωe、ωr分別表示電角速度和機(jī)械角速度；P是電機(jī)的極數(shù)。

PMSM的機(jī)械運(yùn)動方程寫為

(3)

其中：J表示轉(zhuǎn)動慣量；TL表示負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B表示黏度系數(shù)；Te表示電磁轉(zhuǎn)矩。對于表面貼裝PMSM，電磁轉(zhuǎn)矩Te可以表示為

Te=1.5Pψfiq

(4)

2 ESO的設(shè)計(jì)

設(shè)對象為如下有擾動作用的非定常系統(tǒng)：

(5)

其中：

f(x1,x2,t)=-(1+cost/2)x1-(1+

sin(t/3))x2;

(6)

w(t)=sign(sin(3t/2))

取狀態(tài)觀測器為

(7)

其中：

采用雙曲正切函數(shù)(Hyperbolic Tangent Function，HTF)代替fal函數(shù)。由于雙曲正切函數(shù)為奇函數(shù)，在(-∞，+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)并且光滑連續(xù)，其值域具有飽和特性，其導(dǎo)數(shù)為1/cosh2x，恒不為0。

在x=0的鄰域內(nèi)，如圖1所示，雙曲正切函數(shù)可近似為線性函數(shù)，且斜率較小，在誤差范圍內(nèi)可以兼顧濾波與觀測效果。

對于式(5)的非定常系統(tǒng)，采用不同的函數(shù)進(jìn)行對比，如圖2所示，2種不同的函數(shù)都可以有效地跟蹤原始曲線。

圖2 HTF與fal觀測效果Fig.2 HTF and fal observational effects

將圖2局部放大后得到圖3，可以看出：HTF的觀測效果優(yōu)于fal的觀測效果。因此，使用HTF代替fal函數(shù)是可行的。

圖3 圖2的局部放大Fig.3 Partial enlarged view of Fig.2

3 FITSMC的設(shè)計(jì)

當(dāng)考慮參數(shù)不確定性的影響時，PMSM的運(yùn)動方程可以表示為

(8)

選取參數(shù)g和d，其表達(dá)式如下：

(9)

等式(8)可以改寫為

(10)

其中：g采用自適應(yīng)律估計(jì)，負(fù)載擾動d采用ESO和前饋觀測，以獲得更好的控制效果。假設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程表示為

(11)

其中：h是一個大于零的常數(shù)；f(x1)表示有界非線性擾動函數(shù)；u(t)是控制輸入。

(12)

(13)

由參考文獻(xiàn)[24]可知：PMSM 的速度反饋信號由z1觀察，負(fù)載擾動轉(zhuǎn)矩d由z2觀察，可以實(shí)現(xiàn)干擾的補(bǔ)償。另外，根據(jù)參考文獻(xiàn)[24]中的參數(shù)選擇原則，可以選擇參數(shù)β1、β2、β3且滿足β1-β2β3>0。

速度跟蹤誤差定義為

(14)

則速度跟蹤誤差方程的變化規(guī)律可表示為

(15)

文中以速度跟蹤誤差e為自變量，選取積分滑模面為

dτ

(16)

為對比不同滑模面的效果，選取：

(17)

其中：q1、q2是滿足q2>q1>0的奇數(shù)；α>0；β>0。

為了加快逼近過程并抑制滑模表面的顫振，選擇終端滑模逼近律。終端滑模趨近律表示為

(18)

同時選取新趨近律(New Reaching Law Sliding Mode Control，NRSMC)：

(19)

其中：m、n是正數(shù)，且0<λ<1。可以得到速度環(huán)控制器的輸出信號，結(jié)合式(15)(16)(18)得到q軸電流參考值：

αsgn(e)+β|e|q1/q2sgn(e)]

(20)

(21)

4 穩(wěn)定性分析

(22)

結(jié)合式(16)可以變?yōu)?/p>

=-s[m|s|λsgn(s)+ns]≤0

(23)

5 系統(tǒng)仿真

為驗(yàn)證文中提出方法的可行性，基于MATLAB/Simulink搭建了永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的仿真模型。

基于FITSMC+ESO的PMSM調(diào)速系統(tǒng)仿真框圖如圖4所示。可以看出：ESO 估計(jì)負(fù)載擾動并將結(jié)果補(bǔ)償?shù)剿俣瓤刂破鱂ITSMC中，而SMSC代替了傳統(tǒng)速度環(huán)中的 PI 控制器。設(shè)定電機(jī)的參數(shù)見表1。

表1 電機(jī)參數(shù)Tab.1 Motor parameters

圖4 PMSM調(diào)速系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of PMSM speed-regulation system

仿真參數(shù)設(shè)定為：α=100，β1=160，β2=160，β3=0.85，q1=3，q2=5，k=55，m=2，β=0.3，n=55。

仿真分為2組：第一組模擬時間設(shè)定為0.4 s，給定速度為1 000 r/min；另一組模擬時間也為0.4 s，給定速度為1 000 r/min，但在0.2 s時加入負(fù)載。

第一組仿真參數(shù)模擬結(jié)果如圖5-6所示，可以看出：與傳統(tǒng)的SMC和NRSMC相比，ESO+FITSMC達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)的時間更短，超調(diào)更小，能更快到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)；相比之下，傳統(tǒng)的SMC具有較大的超調(diào)量，NRSMC的效果居中。從圖6中可以看出：FITSMC到達(dá)穩(wěn)定只需要0.007 4 s，NRSMC到達(dá)穩(wěn)定需要0.010 2 s，SMC到達(dá)穩(wěn)定需要0.010 4 s。同時，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定時ESO+FITSMC的抖振為10 r/min，抖振較小。因此，基于FITSMC+ESO的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能和較強(qiáng)的魯棒性。

圖5 不同SMC在1 000 r/min下的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of different SMC at 1 000 r/min

圖6 圖5的局部放大Fig.6 Partial enlarged view of Fig.5

圖7所示為不同函數(shù)的觀測效果，可以看出：tanhESO具有較小的超調(diào)，且更快地到達(dá)給定的速度，進(jìn)一步驗(yàn)證了對于ESO的改進(jìn)是可行的。

圖7 tanh與fal函數(shù)對比Fig.7 Function comparison of tanh and fal

第二組仿真參數(shù)模擬效果如圖8-9所示，可以看出：ESO+FITSMC空載運(yùn)行時的效果和圖5、6的效果相同，它在更短的時間內(nèi)達(dá)到給定速度，且具有小超調(diào)。從圖9中可以看出：在0.2 s時突加負(fù)載，ESO+FITSMC能夠更快地反應(yīng)，且只需要0.002 s就能調(diào)整到給定值；此外，轉(zhuǎn)速只下降了40 r/min。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出的ESO+FITSMC對干擾具有更好的魯棒性。

圖8 0.2 s突加負(fù)載時不同SMC在1 000 r/min下仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of different SMC at 1 000 r/min under 0.2 s sudden load

圖9 圖8的局部放大Fig.9 Partial enlarged view of Fig.8

6 結(jié)論

文中提出的FITSMC控制器在跟蹤誤差遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時提供了更快的誤差收斂速度。基于雙曲正切函數(shù)的ESO估計(jì)負(fù)載擾動，并將它作為前饋補(bǔ)償添加到速度控制器FITSMC中，采用FITSMC替代傳統(tǒng)的PI控制器可以有效地降低動態(tài)速度跟蹤誤差。通過與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了所提方法(FITSMC+ESO)的優(yōu)越性。