立體幾何中線段長度的最值問題（教學設計）

陶軍

一、指導思想與理論依據

《2017年普通高中數學學科教學與評價指導意見》中對于課程的理念第三條指出，“把握數學本質，啟發思考，改進教學”.啟發思考是數學教學的基本特征之一，在數學教學中，恰當的啟發思考是引導學生學習數學的一項基本要求”.

線段長度的最值問題是立體幾何中的難點，且解決的方法靈活多樣，因此在高三備考過程中，對于這類問題的教學，重視對學生進行啟發思考就顯得尤為重要.三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，運算求解能力是高中階段數學的基本要求.線段長度的最值問題是實現這一要求的很好載體，其中代數法和幾何法可以從不同的角度解決這類問題.代數法，即向量法側重代數推理，其特點是要依賴向量關系，它的好處是好懂，不足是不好算，幾何法側重幾何推理，其特點是依賴幾何關系，它的優點是好算，不足是不好想.雖然二種解法都是解決幾何問題的基本方法，但它們明顯反映了不同人們對同一問題本質的不同認識，因此在課堂上，教師能否引導學生恰當的思考，啟發引導學生認識問題的本質就成為教學的一大重點問題.

二、教學內容

高三第一輪復習立體幾何中的綜合問題.

三、學生情況

高三理科生，成績較好.已經復習過用幾何法、向量法求解簡單的空間問題，

會求直線的方向向量、平面的法向量，知道向量法求解空間角的公式，能夠進行向量的運算.

四、教學方式

啟發引導 講練結合.

五、教學目標

1.知識目標：通過對例題的研究，使學生理解和掌握如何用代數或幾何方法解決線段長度的最值問題；

2.能力目標：通過本課的學習，提高學生用不同方法求線段長度最值的能力，包括解題思路、計算、書寫規范等；

3.情感、態度、價值觀目標：通過本課的學習，提高學生學習立體幾何的興趣，增強他們學習的自信心.

六、教學重難點

1.教學重點：幾何法與向量法的合理使用；

2.教學難點：如何把求動線段長度的最值問題適當的轉化為求定線段的長度問題.

七、教學過程

立體幾何中的最值問題是高中數學的難點，也是高考的熱點.這類問題包括長度、角度、面積和體積的最值問題，有關線段長度的最值問題是最基本的問題，這節課我們就研究立體幾何中線段長度的最值問題.

例1.如圖，在棱長為 的正方體 中， 為 的中點，點 是側面 上一點， 平面 ，則線段 長度的最小值是__________

分析1（幾何法）：為求 長度的最小值需要找出點 的軌跡.

問題1.你能在側面 找到一個滿足題意的一個這樣點 嗎？說說你是怎么找的.

問題2.你能找到點 在側面 上的軌跡嗎？說明理由.

問題3.如何求 長度的最小值？

設計意圖：幾何法求解線段 長度的最小值，其關鍵在于在側面 上找到點 的軌跡，問題1引發學生的思考，找到思維的起點；問題2教師引導學生充分利用點滿 足的兩個條件，抓住線面平行的本質線線平行逐步探索研究，確定點 的軌跡，問題3最終把問題轉化為平面上點到線段距離的最小值問題.

分析2（向量法）：為求 長度的最小值需要找出點 的軌跡，可引入坐標確定點 的軌跡.

問題1.怎樣建立適當的空間直角坐標系？

問題2.寫出點 的坐標，設出動點 的坐標？列出 長度的表達式.

問題3. 怎樣把 長度的表達式轉化為一元函數？利用什么條件找到 和 的關系？

問題4. 求出平面 的法向量 ，利用 ，找出 的關系；

問題5. 長度表達式是一個什么函數？定義域是什么？用什么方法求最小值.

設計意圖：讓學生體會幾何法與向量法的思想，能夠選擇合理的方法解決立體幾何線段長度的最值問題，提高學生的空間想象能力、邏輯思維能力和數學運算能力.

八、課堂小結

1研究的問題：立體幾何中線段長度的最值問題

2研究的方法：

（1） 幾何法：求線段長度的最值要點是先用立體幾何知識確定動點的軌跡，再用平面

幾何知識求最值；

（2） 向量法：求線段長度的最值要點是建立適當的坐標系，設出動點坐標，建立線段

長度的表達式，借助向量知識把題目中的幾何條件合理的轉化為代數條件，找到動點坐標的關系，把線段長度的表達式轉化為一元函數，用函數的思想求最值.