立體幾何中線段長度的最值問題（教學(xué)設(shè)計）

陶軍

一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

《2017年普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與評價指導(dǎo)意見》中對于課程的理念第三條指出，“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”.啟發(fā)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)膯l(fā)思考是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本要求”.

線段長度的最值問題是立體幾何中的難點(diǎn)，且解決的方法靈活多樣，因此在高三備考過程中，對于這類問題的教學(xué)，重視對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)思考就顯得尤為重要.三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，運(yùn)算求解能力是高中階段數(shù)學(xué)的基本要求.線段長度的最值問題是實(shí)現(xiàn)這一要求的很好載體，其中代數(shù)法和幾何法可以從不同的角度解決這類問題.代數(shù)法，即向量法側(cè)重代數(shù)推理，其特點(diǎn)是要依賴向量關(guān)系，它的好處是好懂，不足是不好算，幾何法側(cè)重幾何推理，其特點(diǎn)是依賴幾何關(guān)系，它的優(yōu)點(diǎn)是好算，不足是不好想.雖然二種解法都是解決幾何問題的基本方法，但它們明顯反映了不同人們對同一問題本質(zhì)的不同認(rèn)識，因此在課堂上，教師能否引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)?shù)乃伎迹瑔l(fā)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)就成為教學(xué)的一大重點(diǎn)問題.

二、教學(xué)內(nèi)容

高三第一輪復(fù)習(xí)立體幾何中的綜合問題.

三、學(xué)生情況

高三理科生，成績較好.已經(jīng)復(fù)習(xí)過用幾何法、向量法求解簡單的空間問題，

會求直線的方向向量、平面的法向量，知道向量法求解空間角的公式，能夠進(jìn)行向量的運(yùn)算.

四、教學(xué)方式

啟發(fā)引導(dǎo) 講練結(jié)合.

五、教學(xué)目標(biāo)

1.知識目標(biāo)：通過對例題的研究，使學(xué)生理解和掌握如何用代數(shù)或幾何方法解決線段長度的最值問題；

2.能力目標(biāo)：通過本課的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生用不同方法求線段長度最值的能力，包括解題思路、計算、書寫規(guī)范等；

3.情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)：通過本課的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的自信心.

六、教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：幾何法與向量法的合理使用；

2.教學(xué)難點(diǎn)：如何把求動線段長度的最值問題適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化為求定線段的長度問題.

七、教學(xué)過程

立體幾何中的最值問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).這類問題包括長度、角度、面積和體積的最值問題，有關(guān)線段長度的最值問題是最基本的問題，這節(jié)課我們就研究立體幾何中線段長度的最值問題.

例1.如圖，在棱長為 的正方體 中， 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 是側(cè)面 上一點(diǎn)， 平面 ，則線段 長度的最小值是__________

分析1（幾何法）：為求 長度的最小值需要找出點(diǎn) 的軌跡.

問題1.你能在側(cè)面 找到一個滿足題意的一個這樣點(diǎn) 嗎？說說你是怎么找的.

問題2.你能找到點(diǎn) 在側(cè)面 上的軌跡嗎？說明理由.

問題3.如何求 長度的最小值？

設(shè)計意圖：幾何法求解線段 長度的最小值，其關(guān)鍵在于在側(cè)面 上找到點(diǎn) 的軌跡，問題1引發(fā)學(xué)生的思考，找到思維的起點(diǎn)；問題2教師引導(dǎo)學(xué)生充分利用點(diǎn)滿 足的兩個條件，抓住線面平行的本質(zhì)線線平行逐步探索研究，確定點(diǎn) 的軌跡，問題3最終把問題轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)到線段距離的最小值問題.

分析2（向量法）：為求 長度的最小值需要找出點(diǎn) 的軌跡，可引入坐標(biāo)確定點(diǎn) 的軌跡.

問題1.怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？

問題2.寫出點(diǎn) 的坐標(biāo)，設(shè)出動點(diǎn) 的坐標(biāo)？列出 長度的表達(dá)式.

問題3. 怎樣把 長度的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)？利用什么條件找到 和 的關(guān)系？

問題4. 求出平面 的法向量 ，利用 ，找出 的關(guān)系；

問題5. 長度表達(dá)式是一個什么函數(shù)？定義域是什么？用什么方法求最小值.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會幾何法與向量法的思想，能夠選擇合理的方法解決立體幾何線段長度的最值問題，提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

八、課堂小結(jié)

1研究的問題：立體幾何中線段長度的最值問題

2研究的方法：

（1） 幾何法：求線段長度的最值要點(diǎn)是先用立體幾何知識確定動點(diǎn)的軌跡，再用平面

幾何知識求最值；

（2） 向量法：求線段長度的最值要點(diǎn)是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，建立線段

長度的表達(dá)式，借助向量知識把題目中的幾何條件合理的轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，找到動點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，把線段長度的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，用函數(shù)的思想求最值.