從以形助數淺談小學高年級數感的培養

林文芳

一、以形助數，讓數的本質意義深入人心

分數的意義和分數單位對于小學高年級學生來說還是比較抽象的概念。用分數來解決問題也是小學階段學生易錯和較難理解的知識點之一，雖然三年級初步了解了分數的形式，要從本質上理解分數借助圖形是最明智的選擇。教學中筆者發現孩子們容易理解男生是女生的 ，卻較難理解女生是男生的 。學生對于理解分數的意義常常會誤解為將一個整體平均分成若干份，取其中的幾份我們就將它稱為分數，而教材上原文是像這樣的幾份，而非取其中的份數。通過畫圖來表示假分數的意義，讓學生從做數學中對圖形進行數學化，從而理解分數的基本內涵。

【案例1】真分數和假分數

1.數源于數，計數單位的累加引入假分數

（1）問題：你能計算3/4+1/4= 嗎？你能具體說說你是怎么計算的嗎？4/4+1/4= 呢？可以表示什么？5/4是分數嗎？

（2）生獨立探究：畫圖表示的真分數假分數的含義。

2.表述假分數意義

出示圖1，其中一個蘋果畫成虛線表示。學生理解：這堆蘋果表示 ，要表示 ，還差 ，這個蘋果表示 ，但是他這樣畫會讓人產生誤會，我們還要把剩余的一個整體畫出來，再平均分，取出 來。

出示圖2，學生分析：明確了兩個整體。：上面的是8/8，下面的是2/8。將上面的八個蘋果平均分成8分，上面有8個 ，下面有2個 。

學生對這個假分數的表示提出異議：還是會產生誤會啊，為什么不是10/16呢？

學生提出方案：在上下之間畫虛線分開。要兩個單位“1”都圈起來。

提問：為什么會誤會是 呢？

學生分析：分數單位選錯了， 是將上下蘋果看成單位“1”

出示圖3，在左邊這個正方形下面寫上了4/4+3/4=。學生補充：我覺得他畫的時候不要把線連起來畫陰影，應該一個一個分數單位畫，表示是取7份。從畫圖過程中學生理解了分數單位的累加得到分數的數學思維。

二、以形助數，讓數與數之間的關系柳暗花明

學會觀察又是學好數學的前提條件。通過觀察，學生從數實物開始認識數，由具體到抽象，初步建立數感。可以用數來先刻畫形，再借助圖形的直觀從而降低數的抽象，把復雜演繹、不完全歸納的問題變得簡單、清晰。

【案例2】1.由形引數、從數想形

出示圖4，白板上出示1個小正方形、再出示1+3個、1+3+5個。用數來表示形，1可以表示正方形的個數，也可以表示邊長為1個單位的正方形的面積。

學生讓學生用算式表示圖形，并歸納這一類算式的規律。

問題：根據算式的結果你想到什么形？方便我們計算呢？為什么？

學生白板演示并解說理由。1+3=4，1+3+5=9.4，9是一個平方數，可以想到正方形，4是邊長為2的正方形，9是邊長為3的正方形。

2.展開想象，發現規律

問題：通過觀察你又發現了什么？

學生交流發現有幾個連續奇數相加，和就是幾的平方。

問題：你能用n來歸納下嗎？

學生白板演示圖6，發現可以通過圖形來驗證有奇數的個數和最后一個奇數之間的關系。學生發現，最后一個L形正方形個數就是最后一個奇數，把最后一個倒L形加上一個正方形就是拼成大正方形的邊長2倍。1+3+5+……+2n-1=n?。

， 圖6

三、以形助數，讓數的“謬論”無處遁形

在實踐中做數學，讓學生主動利用圖形分析，從而解決問題。筆者在教學圓錐體積公式的推導時，在演示完等底等高圓柱的倒水實驗后，學生反應必然是意猶未盡，總想追根究底。筆者上課之前已備足功課，本想以微積分的托詞來告知學生是后續要學習的知識，小學階段不研究探討。誰知，課堂的變數隨時需要教學機智來湊。課上班上學生李響當即提出：圓錐體可以看成是一個直角三角形旋轉一周形成的幾何體，為什么不可以這樣來推圓錐的體積公式如圖7，也就是用三角形的面積乘以它旋轉的路徑即圓的周長，這樣不是推導證明了圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的一半嗎？為什么不對？錯在哪里？

一個是二分之一的圓柱一個是三分之一的圓柱，一個是通過實驗驗證，眼見為實的，另一個是通過推理證明的.誰是誰非，如何定奪？這個問題激起學生共鳴后，筆者先是利用這個契機安排小組畫圖思考交流。筆者提示學生通過畫圖對比圓柱體積的推導。通過對比反思，學生發現圓柱體積可以用以高為軸的長方形旋轉推理出與書上公式相同的圓柱體積，長方形和三角形在旋轉過程中最大的不同點在于把直角三角形的面積，分成無數份橫線，都平行于三角形的底即r.那么每條橫線旋轉可以得到的是半徑不同的圓，而圓柱的長方形對應長相等得到的是半徑相同的圓，之后用積分運算可以求體積.圓錐則都以底面圓轉的軌跡作為積分的取值就不對了。學生通過畫圖一下就明白了其中的差異在哪，如圖8，學生通過分析直角三角形上點走的軌跡的差異性來理解。a點走過得是最大的圓，b和c都與之不同。

也有學生理解后畫出圖9來說明比二分之一少。課后筆者也鼓勵學有余力的學生可以利用電腦autherware編程來證明。當高年級的課堂出現刨根問底時，不忽略不應付而是激發孩子學習數學的興趣，筆者認為有時多講多討論也不失為一種有為之舉。

總之，教學中可以通過畫圖體會思維反芻之路，從而使學生能敏銳捕捉數與數之間的關系，甚至邏輯推理，以形助數讓學生進行合情的推理。