新課改視閾下初高中數學的銜接問題研究

肖欽歡 邱克娥 陳娜 陳莎 潘彬彬 楊艷珍

(貴州師范學院 數學與大數據學院，貴州 貴陽 550018)

隨著我國新課程改革的全面普及，初高中數學的差異越發明顯。無論是在學科內容，還是在學習方法等方面都有重大改變。初中數學屬于義務教育，高中數學則屬于基礎教育，是為接受高等教育打下基礎。義務教育具有普及性，所以教材難度較低、學科知識較為簡單，知識點分類明確；而基礎教育承擔著為高等院校輸送人才的基本任務，面臨高考選拔，具有優選性質[1]。高中教材對比初中，顯得內容繁多、難度大幅度提升，知識點分類不再明顯，多是融為一體，如初中的圖形與幾何、數與代數是分開的，但到了高中，都歸為了幾何與代數一類。由于教材內容安排的改變，初中的學習方法不再適用，致使學生進入新的環境后，數學成績大幅度下滑，初中數學成績好的，到高中后甚至連及格都難保證[2]。這一方面是教材難度加大的原因，另一方面也是存在初高中知識銜接不當的關系。下面，從初中教學出發，結合課題組成員的教學經驗，在新課改的背景下，以人教版為例，提供數與代數、圖形與幾何、統計與概率這三大方面的一些具體銜接教學措施，供大家探討參考。

以2018年貴陽市中考題第18題為例，如圖1，在Rt△ABC中，下面為小亮探究之間關系的方法：

聯系自己所學的三角函數知識，在圖2的銳角△ABC中，思考三者之間的關系，并寫出探究過程。

圖1

圖2

顯而易見，這道題答案就是高中的正弦定理推導過程的一部分，因此，若在處理初高中銜接問題中，從初中數學的教學出發，在具體教學過程中，補充一些與高中知識接軌的內容，既能讓學生在接觸到高中知識時不再一無所知，也解決了遇到類似中考題時沒有思路的困境，畢竟初中到高中過渡的過程，以初中教師的角度來看，就是一個補充擴展的過程，但以高中教師的角度則是一個回顧聯系的過程。

一、數與代數

以y=x2-2x-3和y=-x2-4x-3為例，結合它們函數圖像，可以發現a和x范圍確定時，y的變化情況。

圖3

如圖3，x＞1時，x增大y也增大，x＜1時，x增大y減小。

圖4

如圖4，x＞-2時，x增大y減小，x＜-2時，x增大y也增大。

這里雖討論了x范圍確定時y的變化情況，但并沒考慮，若y的范圍確定時x的取值范圍又是多少？比如函數y=x2-2x-3，當y＜0,y＜5時，x的取值范圍是多少？根據函數圖像知：y＜0時，x的取值范圍為-1＜x＜3，即x2-2x-3＜0這個不等式的解集為-1＜x＜3;y＜5時，x的取值范圍為-2＜x＜4，即x2-2x-3＜5的解集為-2＜x＜4。這就和高中的一元二次不等式相聯系[3]。雖沒給出一元二次不等式的定義，但可根據二次函數的圖像解決此類不等式解的問題，所以在講這節知識點時，不妨將這種情況一起講了，在講解中，可以引導學生反向思考，從而推出求x的取值范圍，既保證了初高中知識的銜接，也使學生養成了勤于思考的習慣，為以后高中的學習奠定了良好基礎。

例:（黔南州中考）如圖5，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與y軸交于點C(0,-6),與x軸的一個交點A（-2，0）。

（1）求此拋物線的表達式，并把定點D的坐標寫出來；

圖5

問題（2）就是一個根據圖象解決一元二次不等式的例子，若老師講二次函數時，就講了這種例子，學生在遇到類似的題就不會束手無策了，也為接觸高中知識中一元二次不等式時打下基礎。

二、圖形與幾何

對于圓的定義，初中是利用點動成線，線動成面的思想，定義圓為平面內一線段繞固定一端點旋轉一周所形成的圖形；而高中是利用集合的思想，定義圓為到定點距離是定長的點的集合。這就將圖形與幾何和代數聯系起來了，并由此結合距離公式推導出了圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其中定點(a,b)，定長r。這就從方程的角度來描述圓，也體現了數形結合的思想[3]。但在高中生初次接觸到圓的方程時，總有同學想去解，但自己又不會解，因為初中只學過二元一次方程和一元二次方程，高中也沒講二元二次方程的求解，所以這就是一個初高中銜接不當的地方。

現從初中老師的角度出發，給學生講用配方法求解一元二次方程時，可以插入特殊二元二次方程的求解，如x2+y2-10x-12y+61=0，可用配方法配成兩個完全平方式(x-5)2+(y-6)2=0,解得x=5,y=6。由此擴展，r＞0時，二元二次方程有多少組解呢？比如（x-5)2+(y-6)2=16，利用換元的思想，將x-5和y-6分別用m和n替換掉，原方程就變為了m2+n2+16，再化簡為由平方根根號內的數必須大于或等于零，解得n取值范圍為-4≤n≤4,同理得m取值范圍為-4≤m≤4，從數軸看-4到4間有無窮個數，所以二元二次方程有無窮組解，就和二元一次方程有無窮組解原理相同。這也對應了高中圓的方程有無窮解，即圓上的點也有無窮個。所以圓的方程不用求解，學生只需判斷點是在圓上（即點滿足方程(x1-a）2-(y1-b)2=r2)，在圓內（(x2-a）2-(y2-b)2=r2）還是圓外（(x3-a）2-(y3-b)2=r2），如圖6。

圖6

三、統計與概率

初中對概率的定義是刻畫隨機事件發生可能性大小的數值，而高中對概率的定義是度量隨機事件發生的可能性大小，二者并無太大差別，但是高中有講分類加法計數原理和分步乘法計數原理，而初中計算概率的方法只有列舉法，分別為列表法和樹狀圖。

然而，樹狀圖與列表法都是計算事件發生可能性次數的方法，但有些實際問題計算概率就不能單純的用樹狀圖與列表法來計算。例如甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為3局2勝制，如果兩人在每局比賽中獲勝的概率都相等，在比賽開始后，甲先勝了第1局，最后甲獲勝的概率是多少？如果用樹狀圖來解決，就如圖7但是若按照個數來看，獲勝概率為，但利用公式法（即通過分類加法、分步乘法計數原理）可得P(甲勝）。這道題的答案是 ，所以樹狀圖不能處理此類問題，這是樹狀圖實際應用的缺陷，當然，若按照理論計算，樹狀圖沒有問題，即假設一定完成3場比賽，利用樹狀圖就可以得到，如圖8

圖7

圖8

如果我們在初中概率就插入簡單的分類加法計數原理和分步乘法計數原理，那么學生就更能理解清楚概率的概念。從而學生會列公式計算概率，更加節約計算時間，減小計算量，而且也為高中接觸排列組合打下基礎。

四、結束語

數學在學生的學習生涯中扮演著無法替代的角色，初高中數學的學習尤為重要，它們之間的銜接問題的研究也成為一大難題，就目前來看，并沒有統一的研究方法。而本文主要致力于數與代數、圖形與幾何、統計與概率三方面內容銜接問題進行研究，找到該類型問題的一般性解決思路和方法，比以往解決問題的方式更加高效，在促進初高中數學知識正遷移的同時，實現了初中和高中數學教學的無縫銜接。