新課改視閾下初高中數(shù)學(xué)的銜接問題研究

肖欽歡 邱克娥 陳娜 陳莎 潘彬彬 楊艷珍

(貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018)

隨著我國新課程改革的全面普及，初高中數(shù)學(xué)的差異越發(fā)明顯。無論是在學(xué)科內(nèi)容，還是在學(xué)習(xí)方法等方面都有重大改變。初中數(shù)學(xué)屬于義務(wù)教育，高中數(shù)學(xué)則屬于基礎(chǔ)教育，是為接受高等教育打下基礎(chǔ)。義務(wù)教育具有普及性，所以教材難度較低、學(xué)科知識(shí)較為簡單，知識(shí)點(diǎn)分類明確；而基礎(chǔ)教育承擔(dān)著為高等院校輸送人才的基本任務(wù)，面臨高考選拔，具有優(yōu)選性質(zhì)[1]。高中教材對比初中，顯得內(nèi)容繁多、難度大幅度提升，知識(shí)點(diǎn)分類不再明顯，多是融為一體，如初中的圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)是分開的，但到了高中，都?xì)w為了幾何與代數(shù)一類。由于教材內(nèi)容安排的改變，初中的學(xué)習(xí)方法不再適用，致使學(xué)生進(jìn)入新的環(huán)境后，數(shù)學(xué)成績大幅度下滑，初中數(shù)學(xué)成績好的，到高中后甚至連及格都難保證[2]。這一方面是教材難度加大的原因，另一方面也是存在初高中知識(shí)銜接不當(dāng)?shù)年P(guān)系。下面，從初中教學(xué)出發(fā)，結(jié)合課題組成員的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在新課改的背景下，以人教版為例，提供數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率這三大方面的一些具體銜接教學(xué)措施，供大家探討參考。

以2018年貴陽市中考題第18題為例，如圖1，在Rt△ABC中，下面為小亮探究之間關(guān)系的方法：

聯(lián)系自己所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)，在圖2的銳角△ABC中，思考三者之間的關(guān)系，并寫出探究過程。

圖1

圖2

顯而易見，這道題答案就是高中的正弦定理推導(dǎo)過程的一部分，因此，若在處理初高中銜接問題中，從初中數(shù)學(xué)的教學(xué)出發(fā)，在具體教學(xué)過程中，補(bǔ)充一些與高中知識(shí)接軌的內(nèi)容，既能讓學(xué)生在接觸到高中知識(shí)時(shí)不再一無所知，也解決了遇到類似中考題時(shí)沒有思路的困境，畢竟初中到高中過渡的過程，以初中教師的角度來看，就是一個(gè)補(bǔ)充擴(kuò)展的過程，但以高中教師的角度則是一個(gè)回顧聯(lián)系的過程。

一、數(shù)與代數(shù)

以y=x2-2x-3和y=-x2-4x-3為例，結(jié)合它們函數(shù)圖像，可以發(fā)現(xiàn)a和x范圍確定時(shí)，y的變化情況。

圖3

如圖3，x＞1時(shí)，x增大y也增大，x＜1時(shí)，x增大y減小。

圖4

如圖4，x＞-2時(shí)，x增大y減小，x＜-2時(shí)，x增大y也增大。

這里雖討論了x范圍確定時(shí)y的變化情況，但并沒考慮，若y的范圍確定時(shí)x的取值范圍又是多少？比如函數(shù)y=x2-2x-3，當(dāng)y＜0,y＜5時(shí)，x的取值范圍是多少？根據(jù)函數(shù)圖像知：y＜0時(shí)，x的取值范圍為-1＜x＜3，即x2-2x-3＜0這個(gè)不等式的解集為-1＜x＜3;y＜5時(shí)，x的取值范圍為-2＜x＜4，即x2-2x-3＜5的解集為-2＜x＜4。這就和高中的一元二次不等式相聯(lián)系[3]。雖沒給出一元二次不等式的定義，但可根據(jù)二次函數(shù)的圖像解決此類不等式解的問題，所以在講這節(jié)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，不妨將這種情況一起講了，在講解中，可以引導(dǎo)學(xué)生反向思考，從而推出求x的取值范圍，既保證了初高中知識(shí)的銜接，也使學(xué)生養(yǎng)成了勤于思考的習(xí)慣，為以后高中的學(xué)習(xí)奠定了良好基礎(chǔ)。

例:（黔南州中考）如圖5，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與y軸交于點(diǎn)C(0,-6),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（-2，0）。

（1）求此拋物線的表達(dá)式，并把定點(diǎn)D的坐標(biāo)寫出來；

圖5

問題（2）就是一個(gè)根據(jù)圖象解決一元二次不等式的例子，若老師講二次函數(shù)時(shí)，就講了這種例子，學(xué)生在遇到類似的題就不會(huì)束手無策了，也為接觸高中知識(shí)中一元二次不等式時(shí)打下基礎(chǔ)。

二、圖形與幾何

對于圓的定義，初中是利用點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面的思想，定義圓為平面內(nèi)一線段繞固定一端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形；而高中是利用集合的思想，定義圓為到定點(diǎn)距離是定長的點(diǎn)的集合。這就將圖形與幾何和代數(shù)聯(lián)系起來了，并由此結(jié)合距離公式推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其中定點(diǎn)(a,b)，定長r。這就從方程的角度來描述圓，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想[3]。但在高中生初次接觸到圓的方程時(shí)，總有同學(xué)想去解，但自己又不會(huì)解，因?yàn)槌踔兄粚W(xué)過二元一次方程和一元二次方程，高中也沒講二元二次方程的求解，所以這就是一個(gè)初高中銜接不當(dāng)?shù)牡胤健?/p>

現(xiàn)從初中老師的角度出發(fā)，給學(xué)生講用配方法求解一元二次方程時(shí)，可以插入特殊二元二次方程的求解，如x2+y2-10x-12y+61=0，可用配方法配成兩個(gè)完全平方式(x-5)2+(y-6)2=0,解得x=5,y=6。由此擴(kuò)展，r＞0時(shí)，二元二次方程有多少組解呢？比如（x-5)2+(y-6)2=16，利用換元的思想，將x-5和y-6分別用m和n替換掉，原方程就變?yōu)榱薽2+n2+16，再化簡為由平方根根號內(nèi)的數(shù)必須大于或等于零，解得n取值范圍為-4≤n≤4,同理得m取值范圍為-4≤m≤4，從數(shù)軸看-4到4間有無窮個(gè)數(shù)，所以二元二次方程有無窮組解，就和二元一次方程有無窮組解原理相同。這也對應(yīng)了高中圓的方程有無窮解，即圓上的點(diǎn)也有無窮個(gè)。所以圓的方程不用求解，學(xué)生只需判斷點(diǎn)是在圓上（即點(diǎn)滿足方程(x1-a）2-(y1-b)2=r2)，在圓內(nèi)（(x2-a）2-(y2-b)2=r2）還是圓外（(x3-a）2-(y3-b)2=r2），如圖6。

圖6

三、統(tǒng)計(jì)與概率

初中對概率的定義是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，而高中對概率的定義是度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，二者并無太大差別，但是高中有講分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，而初中計(jì)算概率的方法只有列舉法，分別為列表法和樹狀圖。

然而，樹狀圖與列表法都是計(jì)算事件發(fā)生可能性次數(shù)的方法，但有些實(shí)際問題計(jì)算概率就不能單純的用樹狀圖與列表法來計(jì)算。例如甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為3局2勝制，如果兩人在每局比賽中獲勝的概率都相等，在比賽開始后，甲先勝了第1局，最后甲獲勝的概率是多少？如果用樹狀圖來解決，就如圖7但是若按照個(gè)數(shù)來看，獲勝概率為，但利用公式法（即通過分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理）可得P(甲勝）。這道題的答案是 ，所以樹狀圖不能處理此類問題，這是樹狀圖實(shí)際應(yīng)用的缺陷，當(dāng)然，若按照理論計(jì)算，樹狀圖沒有問題，即假設(shè)一定完成3場比賽，利用樹狀圖就可以得到，如圖8

圖7

圖8

如果我們在初中概率就插入簡單的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，那么學(xué)生就更能理解清楚概率的概念。從而學(xué)生會(huì)列公式計(jì)算概率，更加節(jié)約計(jì)算時(shí)間，減小計(jì)算量，而且也為高中接觸排列組合打下基礎(chǔ)。

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)在學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯中扮演著無法替代的角色，初高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)尤為重要，它們之間的銜接問題的研究也成為一大難題，就目前來看，并沒有統(tǒng)一的研究方法。而本文主要致力于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率三方面內(nèi)容銜接問題進(jìn)行研究，找到該類型問題的一般性解決思路和方法，比以往解決問題的方式更加高效，在促進(jìn)初高中數(shù)學(xué)知識(shí)正遷移的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了初中和高中數(shù)學(xué)教學(xué)的無縫銜接。